В даний час відомі наступні способи організації радіоканалів (радіотехнології): FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Можливі їх поєднання (наприклад, FDMA / TDMA). Тимчасові терміни застосування цих технологій багато в чому збігаються з етапами розвитку систем рухомого зв'язку. В обладнанні рухомого радіотелефонного зв'язку першого покоління використовувалася технологія множинний доступ із частотним поділом каналів (FDMA). Радіотехнологія FDMA до теперішнього часу успішно застосовується в удосконаленому обладнанні стільникового зв'язку першого покоління, а також в більш простих системах рухомого радіотелефонного зв'язку з не стільниковою структурою. Що стосується стандартів рухомого зв'язку першого етапу, то для перших радіальних систем поняття стандартів не використовувалося, і обладнання відрізнялося за назвами систем (Алтай, Волемот, Actionet і т.д.). Системи стільникового зв'язку стали відрізнятися за стандартами. На технології FDMA базуються такі стандарти систем стільникового зв'язку першого покоління, як NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS. У системах стільникового рухомого зв'язку другого покоління був зроблений перехід до цифрової обробки переданих голосових повідомлень, для чого стала використовуватися радіотехнологія многостанционного доступу з тимчасовим поділом каналів (TDMA). В результаті переходу до TDMA: підвищилася стійкість радиотракта, стала краще його захищеність від прослуховування і т.д. TDMA застосовується в системах таких стандартів, як GSM, D-AMPS (Останній в американській версії часто іменується просто TDMA). Радіотехнологія множинний доступ із кодовим розділенням каналів МДКР, або в англійській версії CDMA, активно стала впроваджуватися на мережах радіотелефонного зв'язку загального користування тільки останні п'ять років. Ця радіотехнологія має свої переваги, тому що в обладнанні CDMA: - ефективність використання радіочастотного спектру в 20 разів вище в порівнянні з радіоустаткуванням стандарту AMPS (технологія FDMA) і в 3 рази - по відношенню GSM (технологія TDMA); - значно краще, ніж в інших системах 2-ої покоління TDMA, якість, надійність і конфіденційність зв'язку; - є можливість використовувати малогабаритні малопотужні термінали з тривалим терміном роботи; - при однаковій відстані від базової станції потужність випромінювання абонентських терміналів CDMA нижче більш, ніж в 5 разів щодо цього ж показника в мережах стандартів, які базуються на інших радіотехнологіях; - є можливість оптимізації топології мереж при розрахунку зон покриття. Технологія CDMA вперше була реалізована в устаткуванні стільникового зв'язку стандарту IS-95. За своїми сервісними можливостями існуючі системи CDMA відносяться до систем стільникового зв'язку другого покоління. За статистичними даними Національного інституту телекомунікацій (ETRI), число абонентів мереж CDMA щодня зростає на 2000 осіб. За темпами зростання числа абонентів ці мережі перевершують мережі інших існуючих стандартів стільникового зв'язку, випереджаючи розвиток мереж стільникового зв'язку навіть такого популярного стандарту, як GSM. В даний час в мережах CDMA налічується не менше 30 млн. Абонентів. Світовий телекомунікаційний співтовариство схиляється до того, що в майбутніх системах бездротового доступу абонентських ліній (системах персонального зв'язку третього покоління) CDMA буде займати лідируючу позицію. Такий висновок був зроблений у зв'язку з тим, що технологія CDMA найбільшою мірою здатна забезпечити виконання вимог, що пред'являються до обладнання третього покоління IMT-2000, зокрема, щодо забезпечення обміну інформацією з високими швидкостями передачі. Однак в майбутніх системах бездротового доступу передбачається використовувати так звані широкосмугові системи CDMA, де частотна смуга на канал буде не менше 5 МГц (в сучасних системах CDMA другого покоління смуга на канал складає 1,23 МГц). В останні кілька років стали з'являтися засоби бездротового зв'язку, в основу яких покладена технологія розширеного спектру частот з частотними стрибками (FH-CDMA). Ця технологія поєднує специфіку TDMA, де має місце поділ кожної частоти на кілька тимчасових інтервалів, і CDMA, де кожен передавач використовує певну послідовність шумоподібних сигналів. Ця технологія знайшла своє застосування в системах, призначених для організації фіксованого зв'язку.

ДЕ ШУКАТИ ЇХ ХАРАКТЕРИСТИКИ Я ХУЙ ЙОГО ЗНАЄ

44. Подання періодичних сигналів у вигляді рядів Фур'є

http://scask.ru/book_brts.php?id\u003d8

Періодичні сигнали і ряди Фур'є

Математичною моделлю процесу, що повторюється в часі, є періодичний сигнал з наступним властивістю:

Тут Т - період сигналу.

Ставиться завдання знайти спектральне розкладання такого сигналу.

Ряд Фур'є.

Задамо на відрізку часу розглянутий в гол. I ортонормірованций базис, утворений гармонійними функціями з кратними частотами;

Будь-яка функція з цього базису задовольняє умові періодичності (2.1). Тому, - виконавши ортогональное розкладання сигналу в цьому базисі, т. Е. Обчисливши коефіцієнти

отримаємо спектральне розкладання

справедливе на всій нескінченності осі часу.

Ряд виду (2.4) називається поруч Фур'є даннрго сигналу. Введемо основну частоту послідовності, що утворює періодичний сигнал. Обчислюючи коефіцієнти розкладання по формулі (2.3), запишемо ряд Фур'є для періодичного сигналу

з коефіцієнтами

(2.6)

Отже, в загальному випадку періодичний сигнал містить незалежну від часу постійну складову і нескінченний набір гармонійних коливань, так званих гармонік з частотами кратними основній частоті послідовності.

Кожну гармоніку можна описати її амплітудою і початковою фазою Для цього коефіцієнти ряду Фур'є слід записати у вигляді

Підставивши ці вирази в (2.5), отримаємо іншу, - еквівалентну форму ряду Фур'є:

яка іноді виявляється зручніше.

Спектральна діаграма періодичного сигналу.

Так прийнято називати графічне зображення коефіцієнтів ряду Фур'є для конкретного сигналу. Розрізняють амплітудні і фазові спектральні діаграми (рис. 2.1).

Тут по горизонтальній осі в деякому масштабі відкладені частоти гармонік, а по вертикальній осі представлені їх амплітуди і початкові фази.

Рис. 2.1. Спектральні діаграми деякого періодичного сигналу: а - амплітудна; б - фазова

Особливо цікавляться амплітудної діаграмою, яка дозволяє судити про процентний вміст тих чи інших гармонік в спектрі періодичного сигналу.

Вивчимо кілька конкретних прикладів.

Приклад 2.1. Ряд Фур'є періодичної послідовності прямокутних відеоімпульсів з відомими параметрами, парної щодо точки t \u003d 0.

У радіотехніці відношення називають скважностью послідовності. За формулами (2.6) знаходимо

Остаточну формулу ряду Фур'є зручно записати у вигляді

На рис. 2.2 представлені амплітудні діаграми аналізованої послідовності в двох крайніх випадках.

Важливо відзначити, що послідовність коротких імпульсів, наступних один за одним досить рідко, має багатий спектральним складом.

Рис. 2.2. Амплітудний спектр періодичної послідовності ррямоугольних видеоимпульсов: а - при великій шпаруватості; б - при малій скважности

Приклад 2.2. Ряд Фур'є періодичної послідовності імпульсів, утвореної гармонійним сигналом виду обмеженим на рівні (передбачається, що).

Введемо спеціальний параметр - кут відсічення, який визначається зі співвідношення звідки

У соотаетствіі з цим величина дорівнює тривалості одного імпульсу, вираженої в кутовій мірі:

Аналітична запис імпульсу, що породжує розглянуту послідовність, має вигляд

Постійна складова послідовності

Амплітудний коефіцієнт першої гармоніки

Аналогічно обчислюють амплітуди - гармонійних складових при

Отримані результати зазвичай записують так:

де так звані функції Берга:

Графіки деяких функцій Берга наведені на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Графіки кількох перших функцій Берга

Спектральна щільність сигналів. Пряме і зворотне перетворення Фур'є.

сигнал називається періодичним, Якщо його форма циклічно повторюється в часі. Періодичний сигнал в загальному вигляді записується так:

Тут - період сигналу. Періодичні сигнали можуть бути як простими, так і складними.

Для математичного уявлення періодичних сигналів з періодом часто користуються цим поруч, в якому як базисні функції вибираються гармонійні (синусоїдальні і косинусоидальной) коливання кратних частот:

де. - основна кутова частота послідовності функцій. При гармонійних базисних функціях з цього ряду отримаємо ряд Фур'є, який в найпростішому випадку можна записати в наступному вигляді:

де коефіцієнти

З ряду Фур'є видно, що в загальному випадку періодичний сигнал містить постійну складову і набір гармонійних коливань основної частоти і її гармонік з частотами. Кожне гармонійнеколивання ряду Фур'є характеризується амплітудою і початковою фазою.

Спектральна діаграма і спектр періодичного сигналу.

Якщо будь - якої сигнал представлений у вигляді суми гармонійних коливань з різними частотами, то це означає, що було здійснено спектральне розкладання сигналу.

спектральної діаграмою сигналу називається графічне зображення коефіцієнтів ряду Фур'є цього сигналу. Існують амплітудні і фазові діаграми. Для побудови цих діаграм, в деякому масштабі по горизонтальній осі відкладаються значення частот гармонік, а по вертикальній осі - їх амплітуди і фази. Причому амплітуди гармонік можуть приймати тільки позитивні значення, фази - як позитивні, так і негативні значення в інтервалі.

Спектральні діаграми періодичного сигналу:

а) - амплітудна; б) - фазова.

спектр сигналу - це сукупність гармонійних складових з конкретними значеннями частот, амплітуд і початкових фаз, що утворюють в сумі сигнал. На практиці спектральні діаграми називаються більш коротко - амплітудний спектр, фазовий спектр. Найбільший інтерес проявляють до амплітудної спектральної діаграмі. По ній можна оцінити процентний вміст гармонік в спектрі.

Спектральні характеристики в техніці електрозв'язку відіграють велику роль. Знаючи спектр сигналу можна правильно розрахувати і встановити смугу пропускання підсилювачів, фільтрів, кабелів і інших вузлів каналів зв'язку. Знання спектрів сигналів необхідно для побудови багатоканальних систем з частотним поділом каналів. Без знання спектра перешкоди важко вжити заходів для її придушення.

З цього можна зробити висновок, що спектр треба знати для здійснення неспотвореної передачі сигналу по каналу зв'язку, для забезпечення поділу сигналів і ослаблення перешкод.

Для спостереження за спектрами сигналів існує прилади, які називаються аналізаторами спектра. Вони дозволяють спостерігати і вимірювати параметри окремих складових спектра періодичного сигналу, а також вимірювати спектральну щільність безперервного сигналу.

Часто математичний опис навіть нескладних за структурою і формою детермінованих сигналів є важким завданням. Тому використовують оригінальний прийом, при якому реальні складні сигнали замінюють (представляють, апроксимують) набором (зваженою сумою, тобто поряд) математичних моделей, що описуються елементарними функціями. Це дає важливий інструмент для аналізу проходження електричних сигналів через електронні ланцюги. Крім того, уявлення сигналу може використовуватися і як вихідне при його описі і аналізі. При цьому можна істотно спростити зворотну задачу - синтез складних сигналів із сукупності елементарних функцій.

Спектральне подання періодичних сигналів рядами Фур'є

Узагальнений ряд Фур'є.

Фундаментальна ідея спектрального представлення сигналів (функцій) сягає корінням часів більш ніж 200-річної давності і належить фізику і математику Ж. Б. Фур'є.

Розглянемо системи елементарних ортогональних функцій, кожна з яких виходить з однієї вихідної - функции-прототипа. Ця функція-прототип виконує роль «будівельного блоку», а шукана апроксимація знаходиться відповідним комбінуванням однакових блоків. Фур'є показав, що будь-яку складну функцію можна уявити (апроксимувати) у вигляді кінцевої або нескінченної суми ряду кратних гармонійних коливань з певними амплітудами, частотами і початковими фазами. Цією функцією може бути, зокрема, струм або напруга в ланцюзі. Сонячний промінь, розкладений призмою на спектр кольорів, являє собою фізичний аналог математичних перетворень Фур'є (рис. 2.7).

Світло, що виходить з призми, розділений в просторі на окремі чисті кольори, або частоти. У спектрі є середня амплітуда на кожній частоті. Таким чином, функція інтенсивності від часу трансформувалася в функцію амплітуди в залежності від частоти. Простий приклад ілюстрацій міркувань Фур'є показаний на рис. 2.8. Періодична, досить складна за формою крива (рис. 2.8, а) - це сума двох гармонік різних, але кратних частот: одинарної (рис. 2.8, б) і подвоєною (рис. 2.8, в).

Рис. 2.7.

Рис. 2.8.

а - складне коливання; б, в- 1-й і 2-й аппроксимирующие сигнали

За допомогою спектрального аналізу Фур'є складна функція представляється сумою гармонік, кожна з яких має свою частоту, амплітуду і начатьную фазу. Перетворення Фур'є визначає функції, що представляють амплітуду і фазу гармонійних складових, які відповідають конкретним частоті, а фаза - початкова точка синусоїди.

Перетворення можна отримати двома різними математичними методами, один з яких застосовують, коли вихідна функція неперервна, а інший - коли вона задається безліччю окремих дискретних значень.

Якщо досліджувана функція отримана з значень з певними дискретними інтервалами, то її можна розбити на послідовний ряд синусоїдальних функцій з дискретними частотами - від найнижчої, основний або головною частоти, і далі з частотами вдвічі, втричі і т.д. вище основний. Така сума складових і називається поруч Фур'є.

Ортогональні сигнали. Зручним способом спектрального опису сигналу по Фур'є є його аналітичне представлення за допомогою системи ортогональних елементарних функцій часу. Нехай є гільбертовому просторі сигналів u 0 (t) y г /, (?), ..., u n (t) з кінцевою енергією, визначених на кінцевому або нескінченному інтервалі часу (T v 1 2). На цьому відрізку задамо нескінченну систему (підмножина) взаємопов'язаних елементарних функцій часу і назвемо її базисної ".

де г \u003d 1, 2, 3,....

функції u (t) і v (t) ортогональні на інтервалі (?,? 2), якщо їх скалярний добуток за умови що жодна з цих функцій нс дорівнює тотожно нулю.

В математиці так задають в гільбертовому просторі сигналів ортогональний координатний базис, Тобто систему ортогональних базисних функцій.

Властивість ортогональності функцій (сигналів) пов'язано з інтервалом їх визначення (рис. 2.9). Наприклад, два гармонійних сигналу м, (?) \u003d \u003d Sin (2nr / 7 '0) і u., (t) \u003d Sin (4 nt / T Q) (Тобто з частотами / 0 \u003d 1/7 '0 і 2/0 відповідно) ортогональні на будь-якому інтервалі часу, тривалість якого дорівнює цілому числу напівперіодів Т 0 (Рис. 2.9, а). Отже, в першому періоді сигнали і ((1) і u 2 (t) ортогональні на інтервалі (0, 7 "0/2); але на інтервалі (О, ЗГ 0/4) вони неортогональної. Па рис. 2.9, б сигнали ортогональні через різночасності їх появи.

Рис. 2.9.

а - на інтервалі; б - через різночасності появи Подання сигналу u (t) елементарними моделями істотно спрощується, якщо обрана система базисних функцій vff), що володіють властивістю ортонормірованності. З математики відомо, якщо для будь-якої пари функцій з ортогональної системи (2.7) виконується умова

то система функцій (2.7) ортонормірованна.

В математиці таку систему базисних функцій виду (2.7) називають ор тонормірованним базисом.

Нехай на заданому інтервалі часу | г, t 2 | діє довільний сигнал u (t) і для його уявлення використовується ортонормированном система функцій (2.7). Проектування довільного сигналу u (t) на осі координатного базису називається розкладанням в узагальнений ряд Фур'є. Це розкладання має вигляд

де с, - деякі постійні коефіцієнти.

Для визначення коефіцієнтів з до узагальненого ряду Фур'є виберемо одну з базисних функцій (2.7) v k (t) з довільним номером к. Помножимо обидві частини розкладання (2.9) на цю функцію і проинтегрируем результат за часом:

Внаслідок ортонормірованності базису певних функцій в правій частині цієї рівності усіх членів суми при i ^ до звернуться в нуль. Ненульовим залишиться тільки єдиний член суми з номером i = до, тому

твір виду c k v k (t), що входить в узагальнений ряд Фур'є (2.9), являє собою спектральну складову сигналу u (t), а сукупність коефіцієнтів (проекцій векторів сигналу на осі координат) (з 0, з, ..., з до,..., з ") повністю визначає аналізований сигнал ii (t) і називається його спектром (Від лат. spectrum - образ).

суть спектрального уявлення (аналізу) Сигналу полягає у визначенні коефіцієнтів з я відповідно до формули (2.19).

Вибір раціональної ортогональної системи координатного базису функцій залежить від мети досліджень і визначається прагненням максимального спрощення математичного апарату аналізу, перетворень і обробки даних. В якості базисних функцій в даний час використовуються поліноми Чебишева, Ерміта, Лагерра, Лежандра та ін. Найбільшого поширення набуло перетворення сигналів в базисах гармонійних функцій: комплексних експоненційних exp (J 2лft) і речових тригонометричних синусно-косинусного функцій, пов'язаних формулою Ейлера е\u003e х \u003d Cosx + y "sinx. Це пояснюється тим, що гармонійнеколивання теоретично повністю зберігає свою форму при проходженні через лінійні ланцюги з постійними параметрами, а змінюються при цьому лише його амплітуда і початкова фаза. Також широко використовується добре розроблений в теорії ланцюгів символічний метод. операцію уявлення детермінованих сигналів у вигляді сукупності постійної складової ( constant component) і суми гармонійних коливань з кратними частотами прийнято називати спектральним розкладанням. Досить поширене використання в теорії сигналів узагальненого ряду Фур'є пов'язано також з його дуже важливою властивістю: при обраної ортонормованій системі функцій v k (t) і фіксованому числі доданків ряду (2.9) він забезпечує найкраще уявлення заданого сигналу u (t). Це властивість рядів Фур'є широко відомо.

При спектральному поданні сигналів найбільше застосування отримали ортонормированном базисі тригонометричних функцій. Це пов'язано з наступним: гармонійні коливання найбільш просто генерувати; гармонійні сигнали інваріантні відносно перетворень, здійснюваних стаціонарними лінійними електричними ланцюгами.

Оцінимо тимчасове і спектральний подання аналогового сигналу (рис. 2.10). На рис. 2.10, а показана тимчасова діаграма складного за формою безперервного сигналу, а на рис. 2.10, б - його спектральне розкладання.

Розглянемо спектральне подання періодичних сигналів у вигляді суми або гармонійних функцій, або комплексних експонент з частотами, що утворюють арифметичну прогресію.

періодичним називають сигнал і "(?). повторюваний через регулярні інтервали часу (рис. 2.11):

де Г - період повторення або проходження імпульсів; п \u003d 0,1, 2,....

Рис. 2.11. періодичний сигнал

якщо Т є періодом сигналу u (t), то періодами будуть і кратні йому значення: 2Г, 3 Т і т.д. Періодична послідовність імпульсів (їх називають відеоімпульс) Описується виражненіем

Рис. 2.10.

а - тимчасова діаграма; б - амплітудний спектр

тут u Q (t) - форма одиночного імпульсу, що характеризується амплітудою (висотою) h \u003d Е, тривалістю т ", періодом проходження Т \u003d 1 / F (F - частота), положенням імпульсів у часі щодо тактових точок, наприклад t \u003d 0.

При спектральному аналізі періодичних сигналів зручна ортогональна система (2.7) у вигляді гармонійних функцій з кратними частотами:

де з, \u003d 2п / \u200b\u200bТ частота проходження імпульсів.

Обчислюючи інтеграли, за формулою (2.8) легко переконатися в ортогональности цих функцій на інтервалі [-Г / 2, Г / 2 |. Будь-яка функція задовольняє умові періодичності (2.11), оскільки частоти їх кратні. Якщо систему (2.12) записати як

то отримаємо ортонормованій базис гармонійних функцій.

Уявімо періодичний сигнал найбільш поширеною в теорії сигналів тригонометричної (Синусно-косинусной) формою ряду Фур'є:

З курсу математики відомо, що розкладання (2.11) існує, тобто ряд сходиться, якщо функція (в даному випадку сигнал) u (t) на інтервалі [-7/2, 7/2] задовольняє умовами Діріхле (На відміну від теореми Діріхле їх часто трактують спрощено):

• не повинно бути розривів 2-го роду (з димовими в нескінченність гілками);
• функція обмежена і має кінцеве число розривів 1-го роду (стрибків);
• функція має кінцеве число екстремумів (тобто максимумів і мінімумів).

У формулі (2.13) є наступні компоненти аналізованого сигналу:

Постійна складова

Амплітуди косинусоидальной складових

Амплітуди синусоїдальних складових

Спектральну складову з частотою зі, в теорії зв'язку називають першій (основний) гармонікою, А складові з частотами ІСО, (П\u003e 1) - вищими гармоніками періодичного сигналу. Крок за частотою Асо між двома сусідніми синусоїдами з розкладання Фур'є називають частотним дозволом спектра.

Якщо сигнал являє собою парну функцію часу u (t) \u003d u (-t), То в тригонометричної записи ряду Фур'є (2.13) відсутні синусоїдальні коефіцієнти Ь п, так як відповідно до формули (2.16) вони звертаються в нуль. для сигналу u (t), описуваного непарною функцією часу, навпаки, згідно з формулою (2.15) нулю рівні косинусоидальной коефіцієнти а п (Постійна складова а 0 також відсутня), і ряд містить складові Ь п.

Межі інтегрування (від -7/2 до 7/2) не обов'язково повинні бути такими, як у формулах (2.14) - (2.16). Інтегрування може проводитися з будь-якого інтервалу часу шириною 7 - результат від цього не зміниться. Конкретні межі вибираються з міркувань зручності обчислень; наприклад, може виявитися простіше виконувати інтегрування від Про до 7 або від -7 до 0 і т.д.

Розділ математики, що встановлює співвідношення між функцією часу u (t) І спектральними коефіцієнтами а п, Ь п, називають гармонійним аналізом внаслідок зв'язку функції u (t) з синусоїдальними і косинусоидальной членами цієї суми. Далі спектральний аналіз в основному обмежений рамками гармонійного аналізу, що знаходить виключне застосування.

Часто застосування синусно-косинусной форми ряду Фур'є не зовсім зручно, оскільки для кожного значення індексу підсумовування п (Тобто для кожної гармоніки з частотою mOj) у формулі (2.13) фігурують два доданків - косинус і синус. З математичної точки зору зручніше цю формулу уявити еквівалентним поруч Фур'є в речовій формі /.

де А 0 = а 0 /2; А п \u003d yja 2 n + Ь - амплітуда; п-й гармоніки сигналу. Іноді в співвідношенні (2.17) перед ср Л ставлять знак «плюс», тоді початкову фазу гармонік записують як ср і \u003d -arctg ( b n fa n).

В теорії сигналів широко використовують комплексну форму ряду Фур'є. Вона виходить з речової форми ряду поданням косинуса у вигляді напівсуми комплексних експонент за формулою Ейлера:

Застосувавши дане перетворення до речовій формі ряду Фур'є (2.17), отримаємо суми комплексних експонент з позитивними і негативними показниками:

А тепер будемо трактувати у формулі (2.19) експоненти при частоті зі, зі знаком «мінус» в показнику як члени ряду з негативними номерами. В рамках цього ж підходу коефіцієнт А 0 стане членом ряду з нульовим номером. Після нескладних перетворень приходимо до комплексній формі ряду Фур'є

комплексна амплітуда п-й гармоніки.

значення З п по позитивним і негативним номерами п є комплексно-сполученими.

Відзначимо, що ряд Фур'є (2.20) являє собою ансамбль комплексних експонент exp (jn (o (t) з частотами, що утворюють арифметичну прогресію.

Визначимо зв'язок між коефіцієнтами тригонометричної і комплексної форм ряду Фур'є. Очевидно, що

Можна також показати, що коефіцієнти а п \u003d 2C w coscp "; b n \u003d 2C / I sincp, f.

якщо u (t) є парною функцією, коефіцієнти ряду С, будуть речовими, а якщо u (t) - функція непарна, коефіцієнти ряду стануть уявними.

Спектральне подання періодичного сигналу комплексної формою ряду Фур'є (2.20) містить як позитивні, так і негативні частоти. Але негативні частоти в природі не існують, і це математична абстракція (фізичний зміст негативної частоти - обертання в напрямку, протилежному тому, яке прийнято за позитивне). Вони з'являються як наслідок формального уявлення гармонійних коливань комплексної формою. При переході від комплексної форми запису (2.20) до дійсної (2.17) негативна частота пропадає.

Наочно про спектр сигналу судять але його графічного зображення - спектральної діаграмі (рис. 2.12). розрізняють амплітудно-частотніі фазо-частотні спектри. Сукупність амплітуд гармонік А п (Рис. 2.12, а) називають амплітудним спектром, Їх фаз (рис. 2.12, б) ср я - фазовим спектром. сукупність З п = |З п є комплексним амплітудним спектром (Рис. 2.12, в). На спектральних діаграмах але осі абсцис відкладають поточну частоту, а але осі ординат - або речову, або комплексну амплітуду або фазу відповідних гармонійних складових аналізованого сигналу.

Рис. 2.12.

а - амплітудний; б - фазовий; в - амплітудний спектр комплексного ряду Фур'є

Спектр періодичного сигналу називають лінійчатим або дискретним, Так як він складається з окремих ліній з висотою, що дорівнює амплітуді А п гармонік. З усіх видів спектрів найбільш інформативний амплітудний, оскільки він дозволяє оцінити кількісний вміст тих чи інших гармонік в частотному складі сигналу. В теорії сигналів доведено, що амплітудний спектр є парна функція частоти, А фазовий - непарна.

Відзначимо еквідистантним (Рівновіддаленість від початку координат) комплексного спектра періодичних сигналів: симетричні (позитивні і негативні) частоти, на яких розташовані спектральні коефіцієнти тригонометричного ряду Фур'є, утворюють еквідистантним послідовність (..., -жo v ..., -2со р -з р 0, v 2СО, ..., nco v ...), що містить частоту зі \u003d 0 і має крок co t \u003d 2л / 7 '. Коефіцієнти можуть приймати будь-які значення.

приклад 2.1

Розрахуємо амплітудний і фазовий спектри періодичної послідовності прямокутних імпульсів з амплітудою ?, тривалістю т і й періодомповторення Т. Сигнал - функція парна (рис. 2.13).

Рис. 2.13.

Рішення

Відомо, що ідеальний прямокутний відеоімпульс описується наступним рівнянням:

тобто він формується як різниця двох одиничних функцій а (?) (функцій включення), зсунутих в часі на т н.

Послідовність прямокутних імпульсів являє собою відому суму одиночних імпульсів:

Оскільки заданий сигнал є парною функцією часу і протягом одного періоду діє тільки на інтервалі [т і / 2, т і / 2], то згідно з формулою (2.14)

де q = Т / т ".

Аналізуючи отриману формулу, можна помітити, що період проходження і тривалість імпульсів входять в неї у вигляді відношення. цей параметр q - відношення періоду до тривалості імпульсів - називають скважностью періодичної послідовності імпульсів (в зарубіжній літературі замість скважности використовують зворотну величину - коефіцієнт заповнення, Від англ, duty cycle, Рівний т і / 7); при q \u003d 2 послідовність прямокутних імпульсів, коли тривалості імпульсів і проміжків між ними стають рівними, називають меандрові (Від грец. Paiav5poq - візерунок, геометричний орнамент).

В силу парності функції, яка описує аналізований сигнал, в ряді Фур'є поряд з постійної складової будуть присутні тільки косинусоидальной складові (2.15):

У правій частині формули (2.22) другий співмножник має вигляд елементарної функції (sinx) / x. В математиці цю функцію позначають як sinc (x), причому тільки при значенні х \u003d 0 вона дорівнює одиниці (lim (sinx / x) \u003d 1), проходить

через нуль в точках х \u003d ± л, ± 2 л, ... і згасає з ростом аргументу х (рис. 2.14). Остаточно тригонометричний ряд Фур'є (2.13), який апроксимує заданий сигнал, записують в формі

Рис. 2.14. Графік функції sinx / x

Функція sine має пелюстковий характер. Говорячи про ширину пелюсток, слід підкреслити, що для графіків дискретних спектрів періодичних сигналів можливі два варіанти градуювання горизонтальній осі - в номерах гармонік і частотах. Наприклад, на рис. 2.14 градуювання осі ординат відповідає частотам. Ширина пелюсток, виміряна в числі гармонік, дорівнює скважности послідовності. Звідси випливає важлива властивість спектра послідовності прямокутних імпульсів - в ньому відсутні (мають нульові амплітуди) гармоніки з номерами, кратними скважности. При скважности імпульсів, що дорівнює трьом, зникає кожна третя гармоніка. Якби шпаруватість була б дорівнює двом, то в спектрі залишилися б лише непарні гармоніки основної частоти.

З формули (2.22) і рис. 2.14 випливає, що коефіцієнти ряду вищих гармонік сигналу мають негативний знак. Це пов'язано з тим, що початкова фаза цих гармонік дорівнює п. Тому формулу (2.22) прийнято представляти в зміненому вигляді:

При такому записі ряду Фур'є значення амплітуд всіх вищих гармонійних складових на графіку спектральної діаграми позитивні (рис. 2.15, а).

Амплітудний спектр сигналу в значній мірі залежить від ставлення періоду повторення Т і тривалості імпульсу т і, тобто від шпаруватості q.Відстань по частоті між сусідніми гармоніками одно частоті проходження імпульсів з 1 \u003d 2л / Т. Ширина пелюсток спектра, виміряна в одиницях частоти, дорівнює 2а / т н, тобто обернено пропорційна тривалості імпульсів. Відзначимо, що при одній і тій же тривалості імпульсу т і з збільшенням не-

Рис. 2.15.

а - амплітудний;б - фазовий

періоди їх повторення Т основна частота зі, зменшується і спектр стає щільніше.

Ту ж картину спостерігають, якщо вкорочують тривалість імпульсу т і при незмінному періоді Т. Амплітуди всіх гармонік при цьому зменшуються. Це прояв загального закону (принципу невизначеності В. Гейзенберга - Uncertainty principle) ', чим коротше тривалість сигналу, тим ширше його спектр.

Фази складових визначимо з формули ср п \u003d arctg (B n / a n). Так як тут коефіцієнти Ь " \u003d 0, то

де m \u003d 0, 1, 2,....

Співвідношення (2.24) показує, що при обчисленнях фаз спектральних складових маємо справу з математичної невизначеністю. Для її розкриття звернемося до формули (2.22), згідно з якою амплітуди гармонік періодично змінюють знак відповідно до зміни знака функції sin (nco 1 x 1I / 2). Зміна знака у формулі (2.22) еквівалентно зсуву фази цієї функції на п.Отже, коли дана функція позитивна, фаза гармоніки (р і \u003d 2 тп,а коли негативна - \u003d (2т + 1 ) до (Рис. 2.15, б). Зауважимо, що хоча амплітуди складових в спектрі прямокутних імпульсів і зменшуються з ростом частоти (див. Рис. 2.15, а), цей спад досить повільний (амплітуди зменшуються обернено пропорційно частоті). Для передачі таких імпульсів без спотворень необхідна нескінченна смуга частот каналу зв'язку. Для порівняно малопомітних спотворень граничне значення смуги частот має бути в багато разів більше значення, зворотного тривалості імпульсу. Однак все реальні канали мають кінцеву смугу пропускання, що призводить до викривлення форми переданих імпульсів.

Ряди Фур'є довільних періодичних сигналів можуть містити нескінченно велика кількість членів. При розрахунках спектрів таких сигналів обчислення нескінченної суми ряду Фур'є викликає певні труднощі і не завжди потрібно, тому обмежуються підсумовуванням кінцевого кількості доданків (ряд «усікається»).

Точність апроксимації сигналу залежить від числа сумміруемих складових. Розглянемо це на прикладі апроксимації сумою з восьми перших гармонік послідовності прямокутних імпульсів (рис. 2.16). Сигнал має вигляд однополярного меандру з періодом повторення Т у амплітудою Е \u003d 1 і тривалістю імпульсів т і \u003d Т/ 2 (заданий сигнал - функція парна - рис. 2.16, а; шпаруватість q \u003d 2). Апроксимація показана на рис. 2.16, б, причому на графіках показано число сумміруемих гармонік. У проведеної апроксимації заданого періодичного сигналу (див. Рис. 2.13) тригонометричним рядом (2.13) підсумовування першої і вищих гармонік буде здійснюватися тільки по непарних коефіцієнтам Пу так як при парних їх значеннях і тривалості імпульсу т і \u003d Т/ 2 \u003d \u003d тт / с, величина sin (mo, T H / 2) \u003d sin (wt / 2) звертається в нуль.

Тригонометрична форма ряду Фур'є (2.23) для заданого сигналу має вигляд

Рис. 2.16.

а - заданий сигнал; 6 - проміжні стадії підсумовування

Для зручності подання ряд Фур'є (2.25) можна записати спрощено:

З формули (2.26) очевидно, що гармоніки, аппроксимирующие меандр, непарні, мають чергуються знаки, а їх амплітуди обернено пропорційні номерами. Відзначимо, що послідовність прямокутних імпульсів погано підходить для подання поруч Фур'є - апроксимація містить пульсації і скачки, а сума будь-якого числа гармонійних складових з будь-якими амплітудами завжди буде безперервною функцією. Тому поведінку ряду Фур'є в околицях розривів представляє особливий інтерес. З графіків рис. 2.16, б неважко помітити, що зі збільшенням числа сумміруемих гармонік результуюча функція все точніше наближається до форми вихідного сигналу u (t) всюди, крім точок її розриву. В околиці точок розриву підсумовування ряду Фур'є дає похила ділянка, причому крутість нахилу результуючої функції зростає зі збільшенням числа сумміруемих гармонік. У самій точці розриву (позначимо її як t = t 0) ряд Фур'є u (t 0) сходиться до напівсуми правого і лівого меж:

На прилеглих до розриву ділянках аппроксимируемой кривої сума ряду дає помітні пульсації, причому на рис. 2.16 видно, що амплітуда основного викиду цих пульсацій не зменшується з ростом числа сумміруемих гармонік - він лише стискається по горизонталі, наближаючись до точки розриву.

при п -? в точках розриву амплітуда викиду залишається постійною,

а його ширина буде нескінченно вузької. Чи не змінюються і відносна амплітуда пульсацій (по відношенню до амплітуди стрибка), і відносне загасання; змінюється тільки частота пульсацій, яка визначається частотою останніх сумміруемих гармонік. Це пов'язано зі збіжністю ряду Фур'є. Звернемося до класичного прикладу: досягнете ви коли-небудь стіни, якщо з кожним кроком будете проходити половину що залишився відстані? Перший крок призведе до позначки половини шляху, другий - до позначки на трьох його чвертях, а після п'ятого кроку пройдете вже майже 97% шляху. Ви майже дійшли до мети, однак скільки б ви ще кроків вперед не зробили, ніколи не досягнете її в строгому математичному сенсі. Можна лише довести математично, що в кінці кінців ви зможете наблизитися на будь-який заданий як завгодно малу відстань. Дане доказ буде еквівалентно демонстрації того, що сума чисел 1 / 2,1 / 4,1 / 8,1 / 16 і т.д. прагне до одиниці. Це явище, властиве всім рядах Фур'є для сигналів з розривами 1-го роду (наприклад, стрибками, як на фронтах прямокутних імпульсів), називають ефектом Гіббса*. При цьому значення першого (найбільшого) викиду амплітуди в аппроксимируемой кривої становить близько 9% рівня стрибка (див. Рис. 2.16, п = 4).

Ефект Гіббса призводить до непереборний похибки апроксимації періодичних імпульсних сигналів з розривами 1-го роду. Ефект має місце при різких порушеннях монотонності функцій. На скачках ефект максимальний, у всіх інших випадках амплітуда пульсацій залежить від характеру порушення монотонності. Для ряду практичних застосувань ефект Гіббса викликає певні проблеми. Наприклад, в звуковідтворювальних системах це явище називають «дзвоном» або «дребезгом». При цьому кожен різкий приголосний або інший раптовий звук може супроводжуватися коротким неприємним для слуху звуком.

Ряд Фур'є може бути застосований не тільки для періодичних сигналів, але і для сигналів кінцевої тривалості. При цьому обумовлюється часів-

ної інтервал, для якого будується ряд Фур'є, а в інші моменти часу сигнал вважається рівним нулю. Для розрахунку коефіцієнтів ряду такий підхід означає періодичне продовження сигналу за межами даного інтервалу.

Відзначимо, що і природа (наприклад, слух людини) використовує принцип гармонійного аналізу сигналів. Віртуальне перетворення Фур'є людина виробляє щоразу, коли чує звук: вухо автоматично виконує це, представляючи звук у вигляді спектра послідовних значень гучності для тонів різної висоти. Мозок людини перетворює цю інформацію в сприймається звук.

Гармонійний синтез. В теорії сигналів поряд з гармонійним аналізом сигналів широко використовують гармонійний синтез - отримання заданих коливань складної форми шляхом підсумовування ряду гармонійних складових їх спектра. По суті вище було проведено синтез періодичної послідовності прямокутних імпульсів сумою з ряду гармонік. На практиці ці операції виконують на комп'ютері, як це показано на рис. 2.16, б.

• Жан Батист Жозеф Фур'є (J. В. J. Fourier; 1768-1830) - французький математик і фізик.
• Джозайя Гіббс (J. Gibbs, 1839-1903) - американський фізик і математик, один з основоположників хімічної термодинаміки і статистичної фізики.

Форми запису ряду Фур'є. сигнал називається періодичним,якщо його форма циклічно повторюється в часі Періодичний сигнал u (t)в загальному вигляді записується так:

u (t) \u003d u (t + mT), m \u003d 0, ± 1, ± 2, ...

Тут Т-період сигналу. Періодичні сигнали можуть бути як простими, так і складними.

Для математичного уявлення періодичних сігналоа з періодом Тчасто користуються рядом (2.2), в якому як базисні функції вибираються гармонійні (синусоїдальні і косинусоидальной) коливання кратних частот

y 0 (t) \u003d 1; y 1 (t) \u003d sinw 1 t; y 2 (t) \u003d cosw 1 t;

y 3 (t) \u003d sin2w 1 t; y 4 (t) \u003d cos2w 1 t; ..., (2.3)

де w 1 \u003d 2p / T- основна кутова частота послідовності

функцій. При гармонійних базисних функціях з ряду (2.2) отримуємо ряд Фур'є (Жан Фур'є - французький математик і фізик XIX століття).

Гармонійні функції виду (2.3) в ряді Фур'є мають наступні переваги: \u200b\u200b1) просте математичне опис; 2) інваріантність до лінійним перетворенням, т. Е. Якщо на вході лінійного ланцюга діє гармонійнеколивання, то і на виході її також буде гармонійнеколивання, що відрізняється від вхідного тільки амплітудою і початковою фазою; 3) як і сигнал, гармонійні функції періодичні і мають нескінченну тривалість; 4) техніка генерування гармонічних функцій досить проста.

З курсу математики відомо, що для розкладання періодичного сигналу в ряд по гармонійним функцій (2.3) необхідно виконання умов Діріхле. Але все реальні періодичні сигнали цим умовам задовольняють і їх можна представити у вигляді ряду Фур'є, який може бути записаний в одній з наступних форм:

u (t) \u003d A 0/2 + (A 'mn cosnw 1 t + A "mn nw 1 t), (2.4)

де коефіцієнти

A mn "\u003d (2.5)

u (t) \u003d A 0/2 + (2.6)

A mn \u003d (2.7)

або в комплексній формі

u (t) \u003d (2.8)

C n \u003d (2.9)

З (2.4) - (2.9) випливає, що в загальному випадку періодичний сигнал u (t) містить постійну складову A 0 / 2и набір гармонійних коливань основної частоти w 1 \u003d 2pf 1 і її гармонік з частотами wn \u003d nw 1, n \u003d 2 , 3,4, ... Кожне з гармонійних

коливань ряду Фур'є характеризується амплітудойі початковою фазою y n .nn

Спектральна діаграма і спектр періодичного сигналу. Якщо який-небудь сигнал представлений у вигляді суми гармонійних коливань з різними частотами, то кажуть, що здійснено спектральне розкладаннясигналу.

спектральної діаграмоюсигналу прийнято називати графічне зображення коефіцієнтів ряду Фур'є цього сигналу. Розрізняють амплітудні і фазові діаграми. На рис. 2.6 в деякому масштабі по горизонтальній осі відкладені значення частот гармонік, по зертікальной осі - їх амплітуди A mn і фази y n. Причому амплітуди гармонік можуть приймати тільки позитивні значення, фази - як позитивні, так і негативні значення в інтервалі -p £ y n £ p

спектр сигналу- це сукупність гармонійних складових з конкретними значеннями частот, амплітуд і початкових фаз, що утворюють в сумі сигнал. У технічних додатках на практиці спектральні діаграми називають більш коротко - амплітудний спектр, фазовий спектр.Найчастіше цікавляться амплітудної спектральної діаграмою. По ній можна оцінити процентний вміст гармонік в спектрі.

приклад2.3. Розкласти в ряд Фур'є періодичну послідовність прямокутних відеоімпульсів звідомими параметрами (U m, T, t z),парну "Щодо точки t \u003d 0. Побудувати спектральну діаграму амплітуд і фаз при U m \u003d 2B, T \u003d 20мс, S \u003d T / t і \u003d 2 і 8.

Заданий періодичний сигнал на інтервалі одного періоду можна записати як

Скористаємося для подання цього сигналу формою записи ряду Фур'є ввигляді (2.4). Так як сигнал парний, то в розкладанні залишаться тільки косинусоидальной складові.

Рис. 2.6. Спектральні діаграми періодичного сигналу:

а - амплітудна; б- фазoвая

Інтеграл від непарної функції за період равеy нулю. За формулами (2.5) знаходимо коефіцієнти

що дозволяють записати ряд Фур'є:

Для побудови спектральних діаграм при конкретних числових даних задаємося я \u003d 0, 1, 2, 3, ... і обчислюємо коефіцієнти гармонік. Результати розрахунку перших восьми складових спектра зведені в табл. 2.1. У ряді (2.4) А "mn \u003d 0і відповідно до (2.7) A mn \u003d | A 'mn |, основна частота f 1 \u003d 1 / T \u003d 1 / 20-10 -3 \u003d 50 Гц, w 1 \u003d 2pf 1 \u003d 2p * 50 \u003d 314рад / с. Амплітудний спектр на рис.

2.7 побудований для таких n,при яких А mnбільше 5% максимального значення.

З наведеного прикладу 2.3 слід, що зі збільшенням шпаруватості збільшується число спектральних складових і зменшуються їх амплітуди. Кажуть, що такий сигнал має багатий спектром. Необхідно відзначити, що для багатьох практично застосовуваних сигналів немає необхідності проводити обчислення амплітуд і фаз гармонік за наведеними раніше формулами.

Таблиця 2.1. Амплітуди складових ряду Фур'є періодичної послідовності прямокутних імпульсів

Рис. 2.7. Спектральні діаграми періодичної послідовності імпульсів: а-При скважности S-2; - б-прі скважности S \u003d \u200b\u200b8

У математичних довідниках є таблиці розкладів сигналів в ряд Фур'є. Одна з таких таблиць наведена в додатку (табл. П.2).

Часто виникає питання: скільки ж узяти спектральних со-складових (гармонік), щоб представити реальний сигнал поруч Фур'є? Адже ряд-то, строго кажучи, нескінченний. Однозначної відповіді тут не можна дати. Все залежить від форми сигналу і точності його уявлення поруч Фур'є. Більш плавну зміну сигналу - менше потрібно гармонік. Якщо сигнал має скачки (розриви), то необхідно підсумувати більше число гармонік для досягнення такої ж похибки. Однак у багатьох випадках, наприклад в телеграфії, вважають, що і для передачі прямокутних імпульсів з крутими фронтами досить трьох гармонік.

У минулому столітті Іван Бернуллі, Леонард Ейлер, а потім і Жан-Батист Фур'є вперше застосували уявлення періодичних функцій тригонометричними рядами. Це уявлення вивчається досить докладно в інших курсах, тому нагадаємо лише основні співвідношення і визначення.

Як вже зазначалося вище, будь-яку періодичну функцію u (t) , Для якої виконується рівність u (t) \u003d u (t + T) , де T \u003d 1 / F \u003d 2p / W , Можна уявити поруч Фур'є:

Кожне складова цього ряду можна розкласти по формулі косинуса для різниці двох кутів і представити у вигляді двох складових:

,

де: A n \u003d C n cosφ n, B n \u003d C n sinφ n , так що , а

коефіцієнти А n і В n визначаються за формулами Ейлера:

;
.

при n \u003d 0 :

а B 0 \u003d 0.

коефіцієнти А n і В n , Є середніми значеннями твори функції u (t) і гармонійного коливання з частотою nw на інтервалі тривалістю Т . Ми вже знаємо (розділ 2.5), що це функції взаємної кореляції, що визначають міру їх зв'язку. Отже, коефіцієнти A n і B n показують нам "скільки" синусоїди або косинусоид з частотою nW міститься в даній функції u (t) , Розкладається в ряд Фур'є.

Таким чином, ми можемо уявити періодичну функцію u (t) у вигляді суми гармонійних коливань, де числа C n є амплітудами, а числа φ n - фазами. Зазвичай в літературі називається спектром амплітуд, а - спектром фаз. Часто розглядається тільки спектр амплітуд, який зображується у вигляді ліній, розташованих в точках nW на осі частот і мають висоту, відповідну числу C n . Однак слід пам'ятати, що для отримання однозначного відповідності між тимчасової функцією u (t) і її спектром необхідно використовувати і спектр амплітуд, і спектр фаз. Це видно з такого простого прикладу. У сигналів і буде однаковий спектр амплітуд, але абсолютно різний вигляд тимчасових функцій.

Дискретний спектр може мати не тільки періодична функція. Наприклад, сигнал: не є періодичним, але має дискретний спектр, що складається з двох спектральних ліній. Також не буде строго періодичним сигнал, що складається з послідовності радіоімпульсів (імпульсів з високочастотним заповненням), у яких період проходження постійний, але початкова фаза високочастотного заповнення змінюється від імпульсу до імпульсу по якому-небудь закону. Такі сигнали називаються майже періодичними. Як ми побачимо надалі, вони також мають дискретний спектр. Дослідження фізичної природи спектрів таких сигналів, ми будемо виконувати так само, як і періодичних.