2,3. Översättning av siffror från ett talsystem till ett annat

2.3.1. Översättning av heltal från ett talsystem till ett annat

Du kan formulera en algoritm för att översätta heltal från ett system med en bas p in i bassystemet q :

1. Grunden nytt system notation uttrycker numren på det ursprungliga nummersystemet och alla efterföljande steg för att utföra i det ursprungliga nummersystemet

2. Utför konsekvent uppdelningen av ett visst antal erhållna heltal i basen för det nya nummersystemet tills vi får en kvotient, mindre divisor.

3. De resulterande resterna, som är siffrorna för ett nummer i det nya nummersystemet, bör bringas i linje med alfabetet i det nya nummersystemet.

4. Skapa ett nummer i det nya nummersystemet och skriv ner det, börja med den sista återstoden.

Exempel 2.12Konvertera decimaltalet 173 10 till det oktala talsystemet:

Vi får: 173 10 \u003d 255 8

Exempel 2.13. Konvertera decimalnummer 173 10 till hexadecimaltalssystem:

Vi får: 173 10 \u003d AD 16.

Exempel 2.14.Konvertera decimaltal 11 10 till binärt system numrering. Ovanstående åtgärdssekvens (översättningsalgoritm) visas mer bekvämt enligt följande:

Vi får: 11 10 \u003d 1011 2.

Exempel 2.15.Ibland är det mer bekvämt att skriva översättningsalgoritmen i form av en tabell. Konvertera decimaltalet 363 10 till ett binärt tal.


Delare

Vi får: 363 10 \u003d 101101011 2

2.3.2. Överföring av bråknummer från ett talsystem till ett annat

Du kan formulera en algoritm för att översätta vanliga fraktioner med en bas p i en bråkdel med en bas q:

1. Grunden för det nya nummersystemet uttrycks i siffror från det ursprungliga nummersystemet och alla efterföljande åtgärder utförs i det ursprungliga nummersystemet.

2. Flera givna siffror och de resulterande bråkdelarna av produkterna på basis av det nya systemet tills produktens bråkdel blir lika med noll eller erforderlig noggrannhet för representationen av numret uppnås.

3. De resulterande hela delarna av verken, som är siffrorna i ett nummer i det nya nummersystemet, bör anpassas till alfabetet i det nya nummersystemet.

4. Komponera bråkdelen av numret i det nya nummersystemet, börjar med hela delen av den första produkten.

Exempel 2.17.Konvertera siffran 0.65625 10 till oktaltalssystem.

Vi får: 0.65625 10 \u003d 0.52 8

Exempel 2.17.Konvertera numret 0.65625 10 till det hexadecimala talsystemet.


	x16

Vi får: 0.65625 10 \u003d 0, A8 1

Exempel 2.18.Konvertera decimalfraktionen 0,5625 10 till ett binärt talsystem.

	x2
	x2
	x2
	x2

Vi får: 0,5625 10 \u003d 0,1001 2

Exempel 2.19. Konvertera decimal decimal 0,7 10 till binär notation.

Uppenbarligen kan denna process fortsätta på obestämd tid, vilket ger fler och fler nya tecken i bilden av den binära ekvivalenten till antalet 0,7 10. Så i fyra steg får vi numret 0.1011 2, och i sju steg numret 0.1011001 2, vilket är en mer exakt representation av antalet 0.7 10 i binär nummersystem och etc. En sådan ändlös process avslutas vid något steg när det tros att den erforderliga noggrannheten för representationen av antalet erhålls.

2.3.3. Godtycklig översättning

Översättning av godtyckliga nummer, d.v.s. siffror som innehåller heltal och bråkdelar utförs i två steg: Hela delen översätts separat och bråkdelen översätts separat. I den slutliga posten med det resulterande antalet separeras heltalets del från fraktionskomman (punkt).

Exempel 2.20. Konvertera siffran 17.25 10 till binär.

Vi får: 17.25 10 \u003d 1001.01 2

Exempel 2.21.Konvertera 124,25 10 till oktal.

Vi får: 124,25 10 \u003d 174,2 8

2.3.4. Översättning av siffror från nummersystemet med bas 2 till nummersystemet med bas 2 n och vice versa

Översättning av heltal. Om basen för q-ary-talssystemet är en effekt på 2, kan en toppnummeröverföring från ett q-ary-talsystem till 2-ary och vice versa göras enligt enklare regler. För att skriva ett heltal i binärt tal i nummersystemet med basen q \u003d 2 n, behöver du:

1. Bryt det binära talet från höger till vänster i grupper med n siffror i vardera.

2. Om den sista vänstra gruppen innehåller mindre än n siffror, måste den kompletteras med nollor till vänster till önskat antal siffror.

Exempel 2.22.Siffran 101100001000110010 2 kommer att konverteras till det oktala nummersystemet.

Vi delar antalet från höger till vänster i triader och skriver motsvarande oktalsiffror under var och en av dem:

Vi får den oktala representationen av det ursprungliga numret: 541062 8.

Exempel 2.23.Siffran 1000000000111110000111 2 kommer att konverteras till det hexadecimala talsystemet.

Vi delar siffrorna från höger till vänster i anteckningsböcker och skriver under motsvarande hexadecimala siffror:

Vi får den hexadecimala representationen av det ursprungliga numret: 200F87 16.

Översättning av bråknummer. För att skriva ett fraktionerat binärt tal i nummersystemet med basen q \u003d 2 n, behöver du:

1. Bryt det binära talet från vänster till höger i grupper med n siffror i vardera.

2. Om den sista högergruppen innehåller mindre än n siffror, måste den kompletteras med noll till höger till önskat antal siffror.

3. Betrakta varje grupp som ett n-bitars binärt tal och skriv ner det med motsvarande siffra i nummersystemet med basen q \u003d 2 n.

Exempel 2.24.Siffran 0.10110001 2 kommer att konverteras till det oktala talsystemet.

Vi bryter antalet från vänster till höger i triader och skriver motsvarande oktalsiffror under var och en av dem:

Vi får den oktala representationen av det ursprungliga numret: 0.542 8.

Exempel 2.25.Siffran 0.100000000011 2 omvandlas till ett hexadecimalt talsystem. Vi bryter antalet från vänster till höger i anteckningsböcker och skriver motsvarande hexadecimal siffra under var och en av dem:

Vi får den hexadecimala representationen av det ursprungliga numret: 0,803 16

Översättning av godtyckliga nummer. För att skriva ett godtyckligt binärt tal i nummersystemet med basen q \u003d 2 n, behöver du:

1. Dela upp heltalets del av detta binära tal från höger till vänster och bråkdelen från vänster till höger i grupper med n siffror i vardera.

2. Om det finns mindre än n siffror i de sista vänster- och / eller högergrupperna, måste de kompletteras med nollor till vänster och / eller höger till önskat antal siffror;

3. Betrakta varje grupp som ett binärt n-bitnummer och skriv det med motsvarande nummer i nummersystemet med basen q \u003d 2 n

Exempel 2.26.Vi kommer att översätta numret 111100101,0111 2 till det oktala talsystemet.

Vi delar heltalet och fraktionerade delar av antalet i triader och skriver motsvarande oktalsiffror under var och en av dem:

Vi får den oktala representationen av det ursprungliga numret: 745.34 8.

Exempel 2.27.Siffran 11101001000,11010010 2 kommer att konverteras till det hexadecimala talsystemet.

Vi delar upp heltal och bråkdelar av antalet i anteckningsböcker och skriver under motsvarande hexadecimala siffror:

Vi får den hexadecimala representationen av det ursprungliga numret: 748, D2 16.

Översättning av siffror från nummersystem med bas q \u003d 2 n till det binära systemet. För att ett godtyckligt tal skrivet i nummersystemet med basen q \u003d 2 n ska konverteras till ett binärt talsystem, måste du ersätta varje siffra i detta nummer med dess n-siffriga ekvivalent i det binära talsystemet.

Exempel 2.28.Vi kommer att översätta hexadecimala numret 4AC35 16 till det binära talsystemet.

Enligt algoritmen:

Vi får: 1001010110000110101 2.

Gör-det-själv-uppdrag (svar)

2,38. Fyll i tabellen i varje rad där samma heltal ska skrivas i olika nummersystem.

Binär	Octal	Decimal	hexadecimal

2,39. Fyll i tabellen i varje rad där samma fraktionstal ska skrivas i olika nummersystem.

Binär	Octal	Decimal	hexadecimal

2,40. Fyll i tabellen, i varje rad där ett och samma godtyckliga nummer (numret kan innehålla både heltal och bråkdel) måste skrivas i olika nummersystem.

Binär	Octal	Decimal	hexadecimal



			59, B

Resultatet är redan mottaget!

Talsystem

Det finns positionella och icke-positionella nummersystem. Det arabiska talsystemet som vi använder i vardagen är positionellt, medan det romerska inte är det. I positionsnummersystem bestämmer positionen för ett nummer unikt värdet på ett nummer. Tänk på detta med exemplet med siffran 6372 i decimaltalssystemet. Vi numrerar detta nummer från höger till vänster med början från noll:

Sedan kan numret 6372 representeras enligt följande:

6372 \u003d 6000 + 300 + 70 + 2 \u003d 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.

Siffran 10 bestämmer nummersystemet (i det här fallet 10). Värdena för positionen för ett givet antal tas som grader.

Tänk på det verkliga decimalnumret 1287.923. Vi numrerar det med början från nollpositionen för numret från decimalpunkten till vänster och höger:

Sedan kan numret 1287.923 representeras som:

1287.923 \u003d 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 \u003d 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.

I det allmänna fallet kan formeln representeras enligt följande:

C n s n + C n-1 s n-1 + ... + C 1 s 1 + C 0 · s 0 + D -1 · s -1 + D -2 · s -2 + ... + D -k · s -k

där Cn är ett heltal i position n, D-k - fraktionellt antal vid position (-k), s - nummersystem.

Några ord om talsystem. Ett tal i ett decimaltalssystem består av många siffror (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), i ett oktalt talsystem består det av många siffror (0,1, 2,3,4,5,6,7), i den binära notationen - från uppsättningen siffror (0,1), i den hexadecimala notationen - från uppsättningen siffror (0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), där A, B, C, D, E, F motsvarar siffrorna 10,11,12,13,14,15. I tabellen Tab 1 nummer presenteras i olika nummersystem.

bord 1
Nummersystem
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	EN
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Översättning av siffror från ett talsystem till ett annat

För att konvertera siffror från ett talssystem till ett annat är det enklaste sättet att först konvertera siffran till decimaltalssystemet, och sedan från decimalsystem notering för att översätta till önskat nummersystem.

Konvertera siffror från valfritt talsystem till decimaltalssystem

Med hjälp av formel (1) kan du översätta siffror från valfritt talsystem till ett decimaltalssystem.

Exempel 1. Konvertera numret 1011101.001 från binär notation (SS) till decimal decimal. Beslut:

1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2-3 \u003d 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 \u003d 93,125

Exempel2. Konvertera numret 1011101.001 från oktaltalssystemet (CC) till decimal-SS. Beslut:

Exempel 3 . Konvertera AB572.CDF från hexadecimal till decimal-SS. Beslut:

Här EN -placerad med 10, B - vid 11, C- vid 12, F - efter 15.

Konvertera siffror från ett decimaltalssystem till ett annat nummersystem

För att översätta siffror från decimalsystemet till ett annat nummersystem måste du översätta heltalets del av numret och bråkdelen av numret separat.

Heltalsdelen av siffran konverteras från decimal-SS till ett annat tal-system - genom att dela hela delen av siffran med bassystemet för nummersystemet (för binär SS-2, för 8-decimaler SS - 8, för 16-decimaler - 16, etc. ) för att erhålla hela återstoden, mindre än SS-basen.

Exempel 4 . Konvertera siffran 159 från decimal-SS till binär SS:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Som framgår av fig. 1, siffran 159 när den är dividerad med 2 ger kvoten 79 och resten 1. Därefter ger siffran 79 när den divideras med 2 kvoten 39 och resten 1, etc. Som ett resultat, efter att ha byggt numret från resten av divisionen (från höger till vänster), får vi numret i binär SS: 10011111 . Därför kan du skriva:

159 10 =10011111 2 .

Exempel 5 . Konvertera siffran 615 från decimal decimal till oktal SS.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

När du konverterar ett tal från en decimal-SS till en oktal SS, måste du dela antalet i följd med 8 tills du får en hel återstod mindre än 8. Som ett resultat av att konstruera numret från resten av divisionen (från höger till vänster) får vi numret i oktal SS: 1147 (se fig. 2). Därför kan du skriva:

615 10 =1147 8 .

Exempel 6 . Vi konverterar numret 19673 från decimaltalssystemet till hexadecimal SS.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Som ni ser i figur 3 erhölls återstoden av 4, 12, 13, 9 genom att successivt dela antalet 19673 med 16. I den hexadecimala noteringen motsvarar siffran 12 C, siffran 13 till D. Därför är vårt hexadecimala nummer 4CD9.

För att översätta korrekta decimalfraktioner (ett verkligt tal med en heltal med noll) till ett talsystem med en bas s, måste du multiplicera detta nummer i följd med s tills en ren noll erhålls i bråkdelen, eller så får vi önskat antal siffror. Om vi \u200b\u200bvid multiplikation får ett nummer med en heltal som är annan än noll, bör denna heltal inte beaktas (de krediteras i följd till resultatet).

Tänk på ovanstående med exempel.

Exempel 7 . Vi kommer att översätta siffran 0.214 från decimaltalssystemet till binär SS.

		0.214
	x	2
0		0.428
	x	2
0		0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
0		0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

Som framgår av figur 4 multipliceras siffran 0.214 successivt med 2. Om multiplikationen resulterar i ett tal med en heltal som är annan än noll, skrivs heltalets del separat (till vänster om numret), och numret skrivs med nolltalet för heltal. Om du multiplicerar får du ett nummer med en heltal med noll, skrivs noll till vänster om den. Multiplikationsprocessen fortsätter tills en ren noll erhålls i bråkdelen eller så får vi det nödvändiga antalet siffror. Genom att skriva de djärva siffrorna (fig. 4) från topp till botten får vi önskat antal i det binära nummersystemet: 0. 0011011 .

Därför kan du skriva:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Exempel 8 . Vi kommer att översätta antalet 0,125 från decimaltalssystemet till binärt SS.

		0.125
	x	2
0		0.25
	x	2
0		0.5
	x	2
1		0.0

För att föra antalet 0,125 från decimalt SS till binärt multipliceras detta nummer i följd med 2. I det tredje steget visar det sig 0. Därför erhålls följande resultat:

0.125 10 =0.001 2 .

Exempel 9 . Vi kommer att översätta siffran 0.214 från decimaltalssystemet till hexadecimal CC.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

Följande exempel 4 och 5 får vi siffrorna 3, 6, 12, 8, 11, 4. Men i hexadecimal CC motsvarar siffrorna 12 och 11 siffrorna C och B. Därför har vi:

0,214 10 \u003d 0,36C8B4 16.

Exempel 10 . Vi kommer att översätta siffran 0.512 från decimaltalssystemet till det oktala SS.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
0		0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

Mottagen:

0.512 10 =0.406111 8 .

Exempel 11 . Vi kommer att översätta numret 159.125 från decimaltalssystemet till binärt SS. För att göra detta översätter vi separat talets heltal (Exempel 4) och den bråkdela av numret (Exempel 8). Vidare, genom att kombinera dessa resultat, får vi:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Exempel 12 . Vi konverterar numret 19673.214 från decimaltalssystemet till hexadecimal SS. För att göra detta översätter vi separat talets heltal (Exempel 6) och bråkdelen av numret (Exempel 9). Vidare kombinerar vi dessa resultat.

För att överföra siffror från decimaler till andra, är det nödvändigt att dela decimaltalet med basen i systemet som de överförs till, samtidigt som resten av varje division bevaras. Resultatet bildas från höger till vänster. Uppdelningen fortsätter tills resultatet av uppdelningen blir mindre än delaren.

Räknemaskinen konverterar siffror från ett nummersystem till något annat. Den kan översätta siffror från binär till decimal eller från decimal till hexadecimal, vilket visar den detaljerade lösningen på lösningen. Du kan enkelt konvertera ett nummer från ternär till kvartär eller till och med från septenary till hexadecimal. Räknemaskinen kan översätta siffror från valfritt talsystem till något annat.

Online-kalkylator: Konvertera siffror från ett nummersystem till alla andra online

Indata

Ange numret:

Sätt att översätta siffror från ett talsystem till ett annat

Till programmet Unified State Exam in Computer Science innehåller flera uppgifter relaterade till översättning av nummer från ett system till ett annat. Vanligtvis är detta en konvertering mellan 8- och hexadecimala system och binära. Detta avsnitt A1, VID 11. Men det finns också problem med andra nummersystem, till exempel i avsnittet B7.

Till att börja med påminner vi om två tabeller som skulle vara trevliga att veta för dem som väljer datavetenskap som sitt framtida yrke.

Makttabell för 2:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Det erhålls lätt genom att multiplicera det föregående talet med 2. Så om du inte kommer ihåg alla dessa siffror är resten lätt att komma i åtanke från dem du kommer ihåg.

Binärt bord från 0 till 15 med hexadecimal representation:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	EN	B	C	D	E	F

Saknade värden är också lätta att beräkna genom att lägga till 1 till de kända värdena.

Aritmetiska operationer i binärt system

När du lägger till två nummer lika med 1 visar det sig i denna kategori 0 och 1-ts överförs till den högsta kategorin.

Heltalsöversättning

Så låt oss börja med att översätta direkt till det binära systemet. Ta samma nummer 810 10. Vi måste utöka detta antal till termer som är lika med två makter.

Vi letar efter graden av två närmast 810 som inte överskrider den. Detta är 2 9 \u003d 512.
Dra 512 från 810, vi får 298.
Upprepa steg 1 och 2 tills 1 eller 0 återstår.
Det visade sig så här: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .

Sedan finns det två sätt, du kan använda vilken som helst av dem. Det är lätt att se att i vilket tal som helst är grunden alltid 10. Basens kvadrat kommer alltid att vara 100, kuben på 1000. Det vill säga graden av grundsystem för nummersystemet är 1 (enhet), och bakom det finns så många nollor, vad är graden.

Metod 1: Lägg 1 i de kategorierna, som visade sig vara indikatorerna för termerna. I vårt exempel är dessa 9, 8, 5, 3 och 1. På andra platser står nollor. Så vi fick en binär representation av siffran 810 10 \u003d 1100101010 2. Enheterna ligger på nionde, åttonde, femte, 3: e och 1: a platsen, räknas från höger till vänster från början.

Metod 2: Låt oss skriva villkoren som krafter för två under varandra, börjar med den större.

810 =

Låt oss nu sätta ihop dessa steg, som en fläkt fälls: 1100101010.

Det är allt. Längs vägen löses också problemet "hur många enheter i den binära notationen av numret 810?"

Svaret är lika mycket som villkoren (två makter) i denna representation av det. 810 har 5 av dem.

Nu är exemplet enklare.

Vi översätter numret 63 till det 5-decimaltalssystemet. Den närmaste effekten 5 till 63 är 25 (kvadrat 5). Kuben (125) kommer att bli mycket. Det vill säga 63 ligger mellan kvadrat 5 och kuben. Sedan väljer vi koefficienten för 5 2. Detta är 2.

Vi får 63 10 \u003d 50 + 13 \u003d 50 + 10 + 3 \u003d 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 \u003d 223 5.

Och slutligen mycket enkla översättningar mellan 8- och hexadecimala system. Eftersom deras bas är kraften hos två, görs översättningen automatiskt, helt enkelt genom att ersätta siffrorna med deras binära representation. För ett oktalt system ersätts varje siffra av tre binära siffror och för en hexadecimal fyra. Dessutom krävs alla ledande nollor, med undantag för den högsta ordningen.

Låt oss översätta numret 547 8 till det binära systemet.

547 8 =	101	100	111
	5	4	7

En annan, till exempel 7D6A 16.

7D6A 16 \u003d	(0)111	1101	0110	1010
	7	D	6	EN

Vi översätter siffran 7368 till det hexadecimala systemet. Skriv först siffrorna i tripplar och dela dem sedan upp i fyra från slutet: 736 8 \u003d 111 011 110 \u003d 1101 1110 \u003d 1DE 16. Vi översätter numret C25 16 till det 8-decimala systemet. Skriv först siffrorna i fyra delar och dela dem sedan i tripplar från slutet: C25 16 \u003d 1100 0010 0101 \u003d 110 000 100 101 \u003d 6045 8. Överväg nu konvertera tillbaka till decimal. Han representerar inte arbete, det viktigaste är inte att göra misstag i beräkningarna. Vi sönderdelar numret till ett polynom med baskrafter och deras koefficienter. Sedan multiplicerar vi och lägger till allt. E68 16 \u003d 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 \u003d 3688. 732 8 \u003d 7 * 8 2 + 3 * 8 + 2 \u003d 474.

Negativ nummeröversättning

Här är det nödvändigt att ta hänsyn till att numret kommer att presenteras i ytterligare kod. För att översätta ett nummer till ytterligare kod måste du veta den slutliga storleken på numret, det vill säga vad vi vill skriva in i det - i byte, två byte, fyra. Den ledande siffran i ett nummer betyder ett tecken. Om det finns 0 är antalet positivt, om 1 är negativt. Till vänster kompletteras numret med en teckenavladdning. Osignerad ( osignerad ) Vi tar inte hänsyn till siffror, de är alltid positiva och seniorrankan i dem används som information.

För att översätta ett negativt nummer till en binär tilläggskod måste du översätta ett positivt tal till det binära systemet, sedan ändra nollor till en och en till nollor. Lägg sedan till i resultat 1.

Så översätt numret -79 till det binära systemet. Numret tar oss en byte.

Vi översätter 79 till det binära systemet, 79 \u003d 1001111. Komplettera vänster med nollor till storleken på byte, 8 bitar, vi får 01001111. Ändra 1 till 0 och 0 till 1. Vi får 10110000. Vi lägger till 1 till resultatet, vi får svaret 10110001.

På vägen svarar vi på frågan om tentamen " hur många enheter finns i den binära representationen av siffran -79?».

Svaret är 4.

Genom att lägga till 1 till inverset av antalet elimineras skillnaden mellan representationerna +0 \u003d 00000000 och -0 \u003d 11111111. I tilläggskoden skrivs de på samma sätt 00000000.

Fraktionell nummeröversättning

Fraktionella tal översätts på motsatt sätt till att dela heltal med basen, som vi undersökte i början. Det vill säga med hjälp av sekventiell multiplikation med en ny grund med insamling av hela delar. De heltal som erhålls genom multiplikation samlas in, men deltar inte i följande operationer. Endast bråkdelar multipliceras. Om det ursprungliga antalet är större än 1, översätts heltal och bråkdelar separat och limmas sedan ihop.

Vi översätter numret 0.6752 till det binära systemet.

0	,6752
	*2
1	,3504
	*2
0	,7008
	*2
1	,4016
	*2
0	,8032
	*2
1	,6064
	*2
1	,2128

Processen kan fortsätta under lång tid tills vi får alla nollor i bråkdelen eller erforderlig noggrannhet uppnås. Låt oss stanna vid det sjätte tecknet.

Det visar sig att 0,6752 \u003d 0,101011.

Om antalet var 5.6752 kommer det i binär form att vara 101.101011.

Javascript är avaktiverat i din webbläsare.
För att göra beräkningar måste du aktivera ActiveX-kontroller!

1. Ordinärkontot i olika nummersystem.

I det moderna livet använder vi positionsnumersystem, det vill säga system där antalet som är betecknat med ett nummer beror på positionen för numret i nummerposten. Därför kommer vi i framtiden bara att prata om dem och utelämna termen "positionell".

För att lära dig hur man översätter siffror från ett system till ett annat kommer vi att förstå hur den sekventiella inspelningen av siffror sker i exemplet med decimalsystemet.

Eftersom vi har ett decimaltalssystem har vi 10 tecken (siffror) för att konstruera siffror. Vi börjar ordinärt antal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Siffrorna är över. Vi ökar siffrans kapacitet för nollet och nollar den minst signifikanta siffran: 10. Öka sedan igen den mindre siffran tills alla siffrorna är över: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Öka huvudsiffran med 1 och noll den mindre: 20. När vi använder alla siffrorna för båda siffrorna (vi får numret 99), öka igen sifferkapaciteten för siffran och noll de befintliga siffrorna: 100. Och så vidare.

Låt oss försöka göra detsamma i det andra, tredje och femte systemet (vi introducerar notationen för det andra systemet, för det tredje osv.):


0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
6	110	20	11
7	111	21	12
8	1000	22	13
9	1001	100	14
10	1010	101	20
11	1011	102	21
12	1100	110	22
13	1101	111	23
14	1110	112	24
15	1111	120	30

Om nummersystemet har en bas som är större än 10, måste vi ange ytterligare tecken, det är vanligt att ange bokstäverna i det latinska alfabetet. Till exempel för ett 12-decimalt system behöver vi förutom tio siffror två bokstäver (och):


0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10
11
12	10
13	11
14	12
15	13

2. Konvertera från decimal till någon annan.

För att översätta ett positivt heltalstal till ett talsystem med en annan bas, måste du dela detta nummer med en bas. Den resulterande kvoten delas åter upp i baser och ytterligare tills kvoten är mindre än basen. Som ett resultat, skriv på en rad den sista kvoten och alla återstående, börjar med den sista.

Exempel 1 Konvertera decimaltalet 46 till binärt.

Exempel 2 Vi konverterar decimaltalet 672 till det oktala talsystemet.

Exempel 3 Konvertera decimaltal 934 till hexadecimaltalssystem.

3. Översättning från valfritt talsystem till decimal.

För att lära dig hur man översätter siffror från alla andra system till decimaler kommer vi att analysera den vanliga noteringen av decimaltal.
Exempelvis är decimaltalet 325 5 enheter, 2 tiotals och 3 hundratals, dvs.

Situationen är densamma i andra nummersystem, bara vi kommer inte att multiplicera med 10, 100 osv, utan med graden av grundsystem för talsystemet. Ta till exempel numret 1201 i det ternära nummersystemet. Vi numrerar siffrorna från höger till vänster med början från noll och representerar vårt nummer som summan av produkterna på en siffra med tre i graden av en siffra på ett nummer:

Detta är decimalanteckningen för vårt nummer, dvs

Exempel 4 Vi konverterar oktaltalet 511 till decimalsystemet.

Exempel 5 Vi kommer att översätta det hexadecimala talet 1151 till decimalsystemet.

4. Överför från ett binärt system till ett system med basen för "power of two" (4, 8, 16, etc.).

För att konvertera ett binärt tal till ett tal med hjälp av kraften i två är det nödvändigt att dela upp den binära sekvensen i grupper med antalet siffror lika med kraften från höger till vänster och ersätta varje grupp med motsvarande siffra i det nya nummersystemet.

Konvertera till exempel det binära 1100001111010110-numret till det oktala systemet. För att göra detta delar vi upp det i grupper om 3 tecken som börjar från höger (sedan) och använder sedan korrespondensstabellen och ersätter varje grupp med en ny siffra:

Vi lärde oss att bygga en korrespondensstabell i punkt 1.


0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7

De där.

Exempel 6 Konvertera det binära 1100001111010110-numret till det hexadecimala systemet.


0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	EN
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

5. Överför från systemet med basen ”power of two” (4, 8, 16, etc.) till binär.

Denna översättning liknar den föregående, utförd i motsatt riktning: vi ersätter varje siffra mot en grupp siffror i det binära systemet från korrespondensstabellen.

Exempel 7 Vi översätter hexadecimaltal C3A6 till ett binärt talsystem.

För att göra detta, byt ut varje siffra i siffran med en grupp på 4 siffror (eftersom) från korrespondensstabellen, och lägg om nödvändigt till gruppen med nollor i början:

Kalkylatorn låter dig översätta heltal och bråknummer från ett talsystem till ett annat. Bassystemet för nummersystemet kan inte vara mindre än 2 och mer än 36 (10 siffror och 26 latinska bokstäver trots allt). Antalet får inte överstiga 30 tecken. För att ange bråknummer använder du symbolen. eller,. För att överföra ett nummer från ett system till ett annat, ange det ursprungliga numret i det första fältet, basen för det ursprungliga nummersystemet i det andra och basen för nummersystemet där du vill översätta numret i det tredje fältet och klicka sedan på knappen "Get Entry".

Startnummer inspelad i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 nummersystem.

Jag vill få en post över antalet i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 nummersystem.

Få post

Översättningar avslutade: 1237177

Talsystem

Talsystem är uppdelade i två typer: positions och inte position. Vi använder det arabiska systemet, det är positionellt, och det finns också det romerska systemet - det är bara inte positionellt. I positionssystem bestämmer positionen för en siffra i ett nummer unikt värdet på det numret. Detta är lätt att förstå genom att titta på exemplet med ett nummer.

Exempel 1. Ta numret 5921 i decimal. Vi numrerar numret från höger till vänster med början från noll:

Numret 5921 kan skrivas i följande form: 5921 \u003d 5000 + 900 + 20 + 1 \u003d 5 · 10 3 + 9 · 10 2 + 2 · 10 1 + 1 · 10 0. Siffran 10 är en egenskap som definierar nummersystemet. Värdena för positionen för ett givet antal tas som grader.

Exempel 2. Tänk på det verkliga decimalnumret 1234.567. Vi numrerar det med början från nollpositionen för numret från decimalpunkten till vänster och höger:

Siffran 1234.567 kan skrivas på följande sätt: 1234.567 \u003d 1000 + 200 + 30 + 4 + 0,5 + 0,06 + 0,007 \u003d 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 1 + 4 · 10 0 + 5 · 10 -1 + 6 · 10 -2 + 7 · 10 -3.

Översättning av siffror från ett talsystem till ett annat

Mest på ett enkelt sätt Konverteringen av ett nummer från ett talssystem till ett annat är översättningen av numret först till decimaltalssystemet, och därefter resultatet erhållet i det erforderliga nummersystemet.

Konvertera siffror från valfritt talsystem till decimaltalssystem

För att översätta ett nummer från valfritt talsystem till decimal är det tillräckligt att numrera siffrorna, med början från noll (siffran till vänster om decimalpunkten) på samma sätt som i exempel 1 eller 2. Vi finner summan av produkterna med siffrorna i siffran på basis av nummersystemet i denna siffers position:

1. Konvertera numret 1001101.1101 2 till decimal.
Beslut: 10011.1101 2 \u003d 1 · 2 4 + 0 · 2 3 + 0 · 2 2 + 1 · 2 1 + 1 · 2 0 + 1 · 2 -1 + 1 · 2 -2 + 0 · 2 -3 + 1 · 2 - 4 \u003d 16 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 \u003d 19,8125 10
Svar: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Konvertera E8F.2D 16 till decimaltalssystem.
Beslut: E8F.2D 16 \u003d 14 · 16 2 + 8 · 16 1 + 15 · 16 0 + 2 · 16 -1 + 13 · 16 -2 \u003d 3584 + 128 + 15 + 0.125 + 0.05078125 \u003d 3727.17578125 10
Svar: E8F.2D 16 \u003d 3727.17578125 10

Konvertera siffror från ett decimaltalssystem till ett annat nummersystem

För att översätta siffror från decimaltalssystemet till ett annat nummersystem måste siffrorna för heltal och bråkdelar översättas separat.

Konvertera heltalets del av ett nummer från decimaltalssystemet till ett annat nummersystem

Heltalsdelen konverteras från decimaltalssystemet till ett annat talssystem genom att sekventiellt dela heltalets del av numret med bassystemet för nummersystemet för att erhålla hela resten mindre än bassystemet för nummersystemet. Resultatet av överföringen kommer att vara en balans av poster från och med den sista.

3. Konvertera 273 10 till oktaltalssystem.
Beslut: 273/8 \u003d 34 och resten 1, 34/8 \u003d 4 och resten 2, 4 är mindre än 8, så beräkningarna är slutförda. Balansen kommer att vara följande: 421
Kontrollera: 4 · 8 2 + 2 · 8 1 + 1 · 8 0 \u003d 256 + 16 + 1 \u003d 273 \u003d 273, resultatet sammanföll. Så översättningen är korrekt genomförd.
Svar: 273 10 = 421 8

Tänk på omvandlingen av regelbundna decimalfraktioner till olika nummersystem.

Konvertera bråkdelen av ett nummer från decimaltalssystemet till ett annat talsystem

Kom ihåg att en vanlig decimalfraktion heter verkligt nummer med noll heltal. För att översätta ett sådant nummer till ett talsystem med bas N, måste du multiplicera numret med N tills sekvensen delas återställs till noll eller det erforderliga antalet siffror erhålls. Om man vid multiplikation får ett tal med en heltal som är annan än noll, tas inte heltalets del vidare, eftersom den sekvensiellt registreras i resultatet.

4. Konvertera siffran 0,125 10 till binär.
Beslut: 0.125 · 2 \u003d 0.25 (0 är heltalets del som blir den första siffran i resultatet), 0.25 · 2 \u003d 0.5 (0 är den andra siffran i resultatet), 0.5 · 2 \u003d 1.0 (1 är den tredje siffran i resultatet, och eftersom bråkdelen är noll , sedan är översättningen avslutad).
Svar: 0.125 10 = 0.001 2