Nästan vilken periodisk funktion som helst kan brytas ned i enkla övertoner med hjälp av en trigonometrisk serie (Fourier -serien):
f(x) = + (ett cos nx + b n synd nx), (*)
Vi skriver denna serie i form av en summa av enkla övertoner, som anger koefficienterna lika med ett= Ett synd j n, b n= Ett cos j n... Vi får: ett cos j n + b n synd j n = Ett synd ( nx+ j n), var
Ett=, tg j n = . (**)
Då kommer serien (*) i form av enkla övertoner att ta formen f(x) = 
.
Fourier -serien representerar en periodisk funktion som summan av ett oändligt antal sinusoider, men med frekvenser som har ett visst diskret värde.
Ibland n-th övertonen är skriven i formen ett cos nx + b n synd nx = Ett cos ( nx – j n) , var ett= Ett cos j n , b n= Ett synd j n .
Vart i Ett och j n bestäms av formlerna (**). Sedan tar serien (*) formen
f(x) = 
.
Definition 9... Periodisk funktionsrepresentation f(x) Fourier -serien kallas harmonisk analys.
Uttrycket (*) förekommer också i en annan, vanligare form:
Odds ett, b n bestäms av formlerna:
magnitud C 0 uttrycker medelvärdet för funktionen under perioden och kallas den konstanta komponenten, som beräknas med formeln:
Inom vibrationsteori och spektralanalys, funktionsrepresentationen f(t) i Fourier -serien är skriven i formen:
(***)
de där. den periodiska funktionen representeras av summan av termer, var och en är en sinusformad oscillation med en amplitud C n och den inledande fasen j n, det vill säga Fourier -serien av en periodisk funktion består av individuella övertoner med frekvenser som skiljer sig från varandra med ett konstant tal. Dessutom har varje överton en viss amplitud. Värdena C n och j n måste väljas ordentligt för att jämlikheten (***) ska hålla, det vill säga bestämmas av formlerna (**) [ C n = Ett].
Vi skriver om Fourier -serien (***) som 
var w 1 - grundfrekvens. Därför kan vi avsluta: en komplex periodisk funktion f(t) bestäms av mängden C n och j n .
Definition 10... Uppsättning av kvantiteter C n, det vill säga att amplituden beror på frekvens kallas amplitudspektrum för funktionen eller amplitudspektrum.
Definition 11. Uppsättning av kvantiteter j n bär namnet fasspektrum.
När de helt enkelt säger "spektrum", menar de exakt amplitudspektrumet; i andra fall gör de lämpliga reservationer. Den periodiska funktionen har diskret spektrum(det vill säga det kan representeras som individuella övertoner).
Spektrumet för en periodisk funktion kan visas grafiskt. För detta väljer vi koordinaterna C n och w = nw 1. Spektrumet kommer att visas i detta koordinatsystem som en uppsättning diskreta punkter, sedan varje värde nw 1 motsvarar ett specifikt värde Med n. En graf som består av enskilda punkter är obekväm. Därför är det vanligt att skildra amplituderna för enskilda övertoner som vertikala segment av lämplig längd (fig. 2).
Ris. 2.
Detta diskreta spektrum kallas ofta ett linjärt spektrum. Han är ett harmoniskt spektrum, d.v.s. består av lika fördelade spektrallinjer; harmoniska frekvenser är i enkla multiplar. Individuella övertoner, inklusive den första, kan vara frånvarande, d.v.s. deras amplituder kan vara noll, men detta kränker inte spektrumets harmoni.
Diskreta eller linjära spektra kan tillhöra både periodiska och icke-periodiska funktioner. I det första fallet är spektrumet nödvändigtvis harmoniskt.
Fourier-seriens expansion kan generaliseras till fallet med en icke-periodisk funktion. För detta är det nödvändigt att tillämpa passagen till gränsen vid Т®∞, med tanke på den icke-periodiska funktionen som begränsande fall för den periodiska med en obegränsat ökande period. Istället för 1 / T vi introducerar den cirkulära grundfrekvensen w 1 = 2p / T... Detta värde är frekvensintervallet mellan intilliggande övertoner, vars frekvenser är lika med 2p n/T... Om T® ∞, då w 1 ® dw och 2p n/T® w, var w- aktuell frekvens, ändras kontinuerligt, dw- dess ökning. I detta fall omvandlas Fourier-serien till en Fourier-integral, vilket är en expansion av en icke-periodisk funktion i ett oändligt intervall (–∞; ∞) till harmoniska oscillationer, vars frekvenser wändras kontinuerligt från 0 till ∞:
En icke-periodisk funktion har kontinuerliga eller kontinuerliga spektra, dvs. istället för enskilda punkter visas spektrumet som en kontinuerlig kurva. Detta erhålls som ett resultat av övergången till gränsen från serien till Fourier -integralen: intervallerna mellan enskilda spektrallinjer dras ihop på obestämd tid, linjerna smälter samman, och i stället för diskreta punkter avbildas spektrumet som en kontinuerlig sekvens av punkter, dvs. kontinuerlig kurva. Funktioner a(w) och b(w) ge lagen om fördelning av amplituder och inledande faser beroende på frekvensen w.
Fouriertransformen är det mest använda sättet att omvandla en godtycklig tidsfunktion till en uppsättning av dess frekvenskomponenter på planet med komplexa tal. Denna transformation kan tillämpas på aperiodiska funktioner för att bestämma deras spektra, i vilket fall den komplexa operatören kan ersättas med / ω:
För att bestämma de mest intressanta frekvenserna kan numerisk integration på det komplexa planet användas.
Låt oss titta på några exempel för att komma igång med beteendet hos dessa integraler. I fig. 14.6 (vänster) visar en enhetsarealpuls i tidsdomänen och dess spektrala sammansättning; i mitten - en puls i samma område, men med en större amplitud, och till höger - är pulsamplituden oändlig, men dess yta är fortfarande lika med enhet. Bilden till höger är särskilt intressant eftersom spektrumet för en nollbreddspuls innehåller alla frekvenser med lika amplituder.
Ris. 14.6. Spektra av impulser av olika bredd, längs samma torg
År 1822 den franske matematikern J. JBJ Fourier visade i sitt arbete med värmeledningsförmåga att varje periodisk funktion kan brytas ned i initialkomponenter, inklusive repetitionsfrekvensen och en uppsättning övertoner för denna frekvens, och var och en av övertonerna har sin egen amplitud och fas med avseende på repetitionshastigheten. De grundläggande formlerna som används i Fourier -transformen är följande:
där A () är en likströmskomponent, och Ap och Bp är övertoner av grundfrekvensen för ordningen för respektive i fas och antifas med den. Funktionen / (*) är alltså summan av dessa övertoner och Lo-
I de fall f (x) är symmetrisk med avseende på mc / 2, dvs. f (x) på regionen från l till 2n = -f (x) på regionen från 0 till l, och det finns ingen likströmskomponent, Fourier -transformformlerna förenklas till:
där n = 1, 3.5, 7 ...
Alla övertoner är sinusoider, bara några av dem är i fas, och några är i antifas med grundfrekvensen. De flesta vågformer som finns i kraftelektronik kan sönderdelas till övertoner på detta sätt.
Om Fouriertransformen appliceras på rektangulära pulser med en varaktighet av 120 °, kommer övertonerna att utgöra en uppsättning av storleken k = bi ± 1, där n är ett av heltalet. Amplituden för varje harmonisk h med avseende på den första är relaterad till dess antal med förhållandet h = l // e. I detta fall kommer den första övertonen att ha en amplitud som är 1,1 gånger större än amplituden för den rektangulära signalen.
Fouriertransformationen ger amplitudvärdet för varje överton, men eftersom de alla är sinusformade, erhålls rms -värdet genom att helt enkelt dividera motsvarande amplitud med roten av 2. Rms -värdet för en komplex signal är kvadratroten av summan av kvadraterna för rms -värdena för varje överton, inklusive den första.
När det gäller repetitiva impulsfunktioner är det användbart att överväga arbetscykeln. Om de repetitiva pulserna i fig. 14.7 har X rms över tid A, då rms över tid B är X (A / B) 1 ’2. Sålunda är RMS -värdet för de repetitiva pulserna proportionellt mot kvadratroten för arbetscykelvärdet. Genom att tillämpa denna princip på en 120 ° (2/3 arbetscykel) rektangulär puls med enhetsamplitud får vi ett RMS -värde på (2/3) 1/2 = 0,8165.
Ris. 14.7. Bestämning av Root Mean Square (RMS) för repeterande
impulser
Det är intressant att kontrollera detta resultat genom att summera de övertoner som motsvarar den ovan nämnda sekvensen av rektangulära pulser. Tabell. 14.2 visar resultaten av denna summering. Som du kan se är allt detsamma.
Tabell 14.2. Resultaten av summeringen av övertonerna motsvarande
periodisk signal med 2/3 arbetscykel och enhetsamplitud
|
Harmoniskt nummer |
Mångfald av övertoner |
Totalt rms -värde |
För jämförelseändamål är det möjligt att gruppera alla uppsättningar övertoner och bestämma motsvarande total harmonisk distorsion. I detta fall bestäms rot-medelkvadratvärdet för signalen av formeln
där h \ är amplituden för den första (grundläggande) övertonen, och h „är amplituden för övertoner i ordning n> 1.
Komponenterna som är ansvariga för förvrängningen kan skrivas separat som
där n> 1. Sedan
där fonden är den första harmoniska, och den icke-linjära distorsionen (THD) kommer att vara lika med D / Fund.
Medan rektangulär pulstågsanalys är intressant, används den sällan i den verkliga världen. Växlingseffekter och andra processer får rektangulära pulser att se mer ut som trapetsformade, eller, i fallet med omvandlare, med en framkant som beskrivs av uttrycket 1 cos (0) och en bakkant som beskrivs av beroende cos (0), där 0< 0 på en logaritmisk skala är lutningen för motsvarande sektioner i denna graf -2 och -1.För system med typiska reaktansvärden faller lutningsändringen ungefär på frekvenserna från elfte till 35: e övertonen för nätfrekvensen, och med en ökning av reaktans eller ström i systemet, frekvensen för lutningsändring minskar ... Slutsatsen från allt detta är att högre övertoner är mindre signifikanta än man kan tro. Även om ökad reaktans tenderar att minska övertoner av högre ordning, är detta vanligtvis inte genomförbart. Mer föredraget att minska de harmoniska komponenterna i förbrukad ström är att öka antalet pulser vid likriktning eller omvandling av spänningen, uppnådd genom fasförskjutning. När det gäller transformatorer berördes detta ämne i kap. 7. Om tyristoromvandlaren eller likriktaren drivs från transformatorlindningarna, anslutna med en stjärna och delta, och utgångarna från omvandlaren eller likriktaren är seriekopplade eller parallellt, erhålls en 12-pulslikriktning. De harmoniska talen i uppsättningen är nu k = \ 2n ± 1 istället för k = 6 och + 1, där n är ett av heltalet. I stället för övertoner i den femte och sjunde ordningen visas nu övertoner av den elfte och den 13: e ordningen, vars amplitud är betydligt mindre. Det är fullt möjligt att använda ännu fler pulsationer, och till exempel används 48-pulsationssystem i stora strömförsörjningar för elektrokemiska anläggningar. Eftersom stora likriktare och omvandlare använder uppsättningar av parallellkopplade dioder eller tyristorer, bestämmer merkostnaden för fasförskjutande lindningar i en transformator huvudsakligen dess pris. I fig. 14.8 visar fördelarna med ett 12-pulsationsschema framför ett 6-pulsationsschema. Den 11: e och 13: e övertonerna i en 12-krusningskrets har ett typiskt amplitudvärde på cirka 10% av den första övertonen. I kretsar med ett stort antal pulsationer är övertoner i storleksordningen k = pn + 1, där p är antalet pulsationer. För intresse, observera att par av uppsättningar övertoner som helt enkelt förskjuts i förhållande till varandra med 30 ° inte avbryts i en 6-pulseringskrets. Dessa harmoniska strömmar flyter tillbaka genom transformatorn; sålunda krävs ytterligare en fasförskjutning för att få möjlighet till ömsesidig förstörelse. Alla övertoner är inte i fas med den första. Till exempel, i en trefas uppsättning övertoner som motsvarar en 120 ° fyrkantvågssekvens, ändras faserna i övertonerna enligt sekvensen -5: e, + 7: e, -11: e, + 13: e, etc. Om den är obalanserad i en trefaskrets kan enfasskomponenter uppstå, vilket innebär tredubbling av övertoner med nollfasförskjutning. Ris. 14.8. Spektra för 6 och 12-pulsgivare Isolationstransformatorer ses ofta som ett universalmedel för harmoniska problem. Dessa transformatorer tillför en viss reaktans till systemet och bidrar därmed till att minska nivån på högre övertoner, men bortsett från att undertrycka noll-sekvensströmmar och elektrostatisk avkoppling är de till liten nytta. Nedbrytning av periodiska icke-sinusformade funktioner Allmänna definitioner Del 1. Teori om linjära kretsar (fortsättning) ELLÄRA TEORETISK GRUND Studieguide för studenter inom elkraftspecialiteter T. Elektriska kretsar med periodisk icke-sinusformad ström Som ni vet, i elindustrin, antas en sinusform som en standardform för strömmar och spänningar. Under verkliga förhållanden kan emellertid formerna på strömmar och spänningar kurvor till viss del skilja sig från sinusformade. Snedvridningar av kurvorna för dessa funktioner i mottagare leder till ytterligare energiförluster och en minskning av deras effektivitet. Generatorns spänningskurvas sinusformade form är en av indikatorerna på kvaliteten på elektrisk energi som en vara. Följande skäl för snedvridningen av formen på kurvorna för strömmar och spänningar i en komplex krets är möjliga: 1) närvaron i den elektriska kretsen av olinjära element, vars parametrar beror på de momentana värdena för ström och spänning [ R, L, C = f(u, jag)], (till exempel likriktare, elektriska svetsaggregat, etc.); 2) närvaron i den elektriska kretsen av parametriska element, vars parametrar ändras i tid [ R, L, C = f(t)]; 3) källan till elektrisk energi (trefasgenerator), på grund av designfunktioner, kan inte ge en idealisk sinusformad utspänning; 4) påverkan av ovanstående faktorer i komplexet. Olinjära och parametriska kretsar behandlas i separata kapitel i TOE -kursen. Detta kapitel undersöker beteendet hos linjära elektriska kretsar när de utsätts för energikällor med en icke-sinusformad kurva. Det är känt från matematikens gång att någon periodisk funktion av tiden f(t) som uppfyller Dirichlet -villkoren kan representeras av en harmonisk Fourier -serie: Här A 0 - konstant komponent, - k-th harmoniska komponenten eller förkortad k den harmoniska. Den första harmoniken kallas den grundläggande, och alla efterföljande kallas den högsta. Amplituden av individuella övertoner Och till beror inte på hur funktionen bryts ned f(t) i Fourier -serien, medan de inledande faserna av enskilda övertoner beror på valet av tidens ursprung (ursprung). Individuella övertoner i Fourier -serien kan representeras som summan av sinus- och cosinuskomponenterna: Då kommer hela Fourier -serien att ta formen: Förhållandena mellan koefficienterna för de två formerna i Fourier -serien är följande: Om k-th harmoniska och dess sinus- och cosinuskomponenter ersätts med komplexa tal, då kan förhållandet mellan koefficienterna i Fourier -serien representeras i komplex form: Om en periodisk icke-sinusformad tidsfunktion ges (eller kan uttryckas) analytiskt i form av en matematisk ekvation, bestäms koefficienterna i Fourier-serien av formlerna som är kända från matematikens gång: I praktiken undersöktes den icke-sinusformade funktionen f(t) är vanligtvis satt i form av ett grafiskt diagram (grafiskt) (Fig. 118) eller i form av en tabell med koordinater för punkter (tabell) i intervallet för en period (tabell 1). För att utföra en harmonisk analys av en sådan funktion enligt ovanstående ekvationer måste den först ersättas med ett matematiskt uttryck. Att ersätta en funktion som ges grafiskt eller i tabellform med en matematisk ekvation kallas för funktionens approximation. För att kontrollera om programmet fungerar korrekt, låt oss bilda en rad prover som summan av två sinusoider sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) och sätt in den i programmet . Programmet drog följande: Fig. 1 Diagrammet över signalens tidsfunktion Fig. 2 Signalspektrumgraf På spektrumgrafen finns två pinnar (övertoner) på 5 Hz med en amplitud på 0,5 V och 10 Hz - med en amplitud på 1 V är allt som i formeln för den ursprungliga signalen. Allt är bra, bra gjort programmerare! Programmet fungerar korrekt. Detta betyder att om vi tillämpar en verklig signal från en blandning av två sinusoider till ADC -ingången, så får vi ett liknande spektrum som består av två övertoner. Totalt, vår verklig uppmätt signal, varar 5 sek, digitaliserad ADC, det vill säga presenterad diskret räknar, har diskret icke-periodisk spektrum. Något verkar vara fel! 10 Hz -övertonen ritas normalt, och i stället för 5 Hz -pinnen uppträdde en del obegripliga övertoner. Vi tittar på Internet, vad och hur ... I, säger de att nollor måste läggas till i slutet av provet och spektrumet kommer att ritas normalt. Fig. 5 Vi avslutade nollor upp till 5 sek Fig. 6 Mottog spektrumet Fortfarande inte vad det var på 5 sekunder. Vi måste ta itu med teorin. Gå till Wikipedia- kunskapskälla. K - antal trigonometriska funktioner (antal övertoner, antal övertoner) Vad betyder det att "representera en funktion som summan av en serie"? Det betyder att genom att vid varje punkt lägga till värdena för de harmoniska komponenterna i Fourier -serien får vi värdet av vår funktion vid denna punkt. (Striktare sagt, rot-medelkvadratavvikelsen för serien från funktionen f (x) tenderar att nollas, men trots rot-medelkvadrat-konvergensen är Fouriers serier av funktionen i allmänhet inte skyldiga att konvergera till det punktvis. Se https://ru.wikipedia.org/ wiki/ Fourier_Row.) Denna serie kan också skrivas som: (2), Förhållandet mellan koefficienterna (1) och (3) uttrycks med följande formler: Observera att alla dessa tre representationer av Fourier -serien är helt likvärdiga. Ibland, när man arbetar med Fourier -serier, är det mer bekvämt att använda exponenter för det imaginära argumentet istället för sinus och cosinus, det vill säga att använda Fourier -transformen i komplex form. Men det är bekvämt för oss att använda formel (1), där Fourier -serien presenteras som en summa av kosinusvågor med motsvarande amplituder och faser. I vilket fall som helst är det fel att säga att resultatet av Fouriers transformering av en verklig signal kommer att vara de komplexa amplituderna för övertonerna. Som Wiki korrekt säger, "Fouriertransformationen (?) Är en operation som tilldelar en funktion till en verklig variabel till en annan funktion, också en verklig variabel." Total: Fouriertransformationen låter dig representera den kontinuerliga funktionen f (x) (signal), definierad på segmentet (0, T) som summan av ett oändligt antal (oändliga serier) av trigonometriska funktioner (sinusoider och \ eller cosinusvågor) med vissa amplituder och faser, också beaktade på segmentet (0, T). En sådan serie kallas en Fourier -serie. Låt oss notera några fler punkter, vars förståelse krävs för korrekt tillämpning av Fourier -transformen till signalanalys. Om vi betraktar Fourierserien (summan av sinusoider) på hela X-axeln, kan vi se att utanför segmentet (0, T) kommer funktionen som representeras av Fourier-serien periodiskt att upprepa vår funktion. Till exempel, i grafen i fig. 7, är den ursprungliga funktionen definierad på intervallet (-T \ 2, + T \ 2), och Fourier-serien representerar en periodisk funktion definierad på hela x-axeln. Detta beror på att sinusoiderna själva är periodiska funktioner, och därför kommer deras summa att vara en periodisk funktion. Fig. 7 Representation av en icke-periodisk originalfunktion av Fourier-serien Således: Vår ursprungliga funktion är kontinuerlig, icke-periodisk, definierad på ett segment av längd T. Perioderna för de harmoniska komponenterna är multiplar av segmentets värde (0, T), på vilket den ursprungliga funktionen f (x) är definierad. Med andra ord är harmonikernas perioder multiplar av signalmätningens varaktighet. Till exempel är perioden för den första harmoniken i Fourier -serien lika med intervallet T, på vilket funktionen f (x) är definierad. Perioden för den andra harmoniken i Fourier -serien är lika med intervallet T / 2. Och så vidare (se fig. 8). Fig. 8 Perioder (frekvenser) för harmoniska komponenter i Fourierserien (här T = 2?) Följaktligen är frekvenserna för de harmoniska komponenterna multiplar av 1 / T. Det vill säga frekvenserna för de harmoniska komponenterna Fk är lika med Fk = k \ T, där k sträcker sig från 0 till ?, Till exempel k = 0 F0 = 0; k = 1 F1 = 1 \ T; k = 2 F2 = 2 \ T; k = 3 F3 = 3 \ T; ... Fk = k \ T (vid noll frekvens - konstant komponent). Låt vår ursprungliga funktion vara en signal som spelats in under T = 1 sek. Då är perioden för den första övertonen lika med varaktigheten för vår signal T1 = T = 1 sek och frekvensen för övertonen är 1 Hz. Den andra harmoniska perioden kommer att vara lika med signallängden dividerad med 2 (T2 = T / 2 = 0,5 sek) och frekvensen är 2 Hz. För den tredje övertonen är T3 = T / 3 sek och frekvensen 3 Hz. Etc. Steget mellan övertoner i detta fall är 1 Hz. Således kan en signal med en varaktighet av 1 sek sönderdelas till harmoniska komponenter (för att erhålla ett spektrum) med en frekvensupplösning på 1 Hz. Det finns ett sätt att artificiellt öka signallängden genom att lägga till nollor till samplingsmatrisen. Men det ökar inte den verkliga frekvensupplösningen. Ett typiskt schema för att mäta och digitalisera en signal är följande. Fig. 9 Mätkanaldiagram Signalen från mätomvandlaren anländer till ADC under en tidsperiod T. Proverna från signalen (samplet) som erhållits under tiden T överförs till datorn och lagras i minnet. Fig. 10 Digitaliserad signal - N sampler erhållna under tiden T Vilka krav ställs påa? En enhet som konverterar en ingångs analog signal till en diskret kod (digital signal) kallas en analog-till-digital-omvandlare (ADC) (Wiki). En av ADC: s huvudparametrar är den maximala samplingshastigheten (eller samplingshastigheten, engelsk samplingshastighet) - samplingshastigheten för en kontinuerlig signal i tid under dess sampling. Mätt i hertz. ((Wiki)) Enligt Kotelnikov -satsen, om en kontinuerlig signal har ett spektrum begränsat av frekvensen Fmax, kan den helt och entydigt rekonstrueras från sina diskreta prover som tas vid tidsintervall, d.v.s. med en frekvens Fd? 2 * Fmax, där Fd är samplingshastigheten; Fmax är signalfrekvensens maximala frekvens. Med andra ord måste signalprovningsfrekvensen (ADC samplingsfrekvens) vara minst 2 gånger högre än den maximala frekvensen för signalen som vi vill mäta. Och vad händer om vi tar prover med en lägre frekvens än vad Kotelnikov -satsen kräver? I detta fall inträffar effekten av "aliasing" (aka stroboskopisk effekt, moiré-effekt), där en högfrekvenssignal, efter digitalisering, förvandlas till en lågfrekvent signal, som faktiskt inte finns. I fig. 5 högfrekvent röd sinusvåg är en riktig signal. En blå sinus av en lägre frekvens är en dummy-signal som uppstår på grund av det faktum att den under samplingstiden lyckas passera mer än en halv period av högfrekvenssignalen. Ris. 11. Utseendet på en falsk signal med låg frekvens med otillräckligt hög samplingshastighet För att undvika effekten av aliasing installeras ett speciellt anti-aliasfilter framför ADC-ett lågpassfilter (lågpassfilter), som passerar frekvenser under halva samplingsfrekvensen för ADC, och skär högre frekvenser. För att beräkna spektrumet för signalen från dess diskreta sampel används den diskreta Fouriertransformationen (DFT). Observera igen att spektrumet för den diskreta signalen "per definition" begränsas av frekvensen Fmax, mindre än hälften av samplingsfrekvensen Fd. Därför kan spektrumet för en diskret signal representeras av summan av ett begränsat antal övertoner, i motsats till den oändliga summan för Fourierserien av en kontinuerlig signal, vars spektrum kan vara obegränsat. Enligt Kotelnikov -satsen bör den maximala frekvensen för en överton vara sådan att den har minst två räkningar, så antalet övertoner är lika med hälften av antalet samplingar av en diskret signal. Det vill säga, om det finns N -prover i provet, kommer antalet övertoner i spektrumet att vara lika med N / 2. Tänk nu på den diskreta Fourier -transformen (DFT). Jämförelse med Fourier -serien Vi ser att de sammanfaller, förutom att tiden i DFT är diskret och antalet övertoner är begränsat till N / 2, vilket är hälften av antalet räkningar. DFT -formler skrivs i dimensionslösa heltalsvariabler k, s, där k är antalet signalprover, s är antalet spektralkomponenter. Återgår till resultaten i början. Som nämnts ovan, när den icke-periodiska funktionen (vår signal) utvidgas i en Fourierserie, motsvarar den resulterande Fourierserien faktiskt en periodisk funktion med en period T. (Fig. 12). Fig. 12 Periodisk funktion f (x) med en period T0, med en mätperiod T> T0 Såsom framgår av fig. 12 är funktionen f (x) periodisk med en period T0. På grund av det faktum att mätprovets T -varaktighet inte sammanfaller med perioden för funktionen T0 har funktionen som erhålls som en Fourier -serie en diskontinuitet vid punkten T. Som ett resultat kommer spektrumet för denna funktion att innehåller ett stort antal högfrekventa övertoner. Om mätprovet T: s längd sammanföll med perioden för funktionen T0, då i spektrumet som erhölls efter Fouriertransformen, skulle endast den första övertonen vara närvarande (en sinusoid med en period lika med provets varaktighet), eftersom funktionen f (x) är en sinusoid. Med andra ord "DFT -programmet" vet inte "att vår signal är en" bit av en sinusoid ", men försöker representera en periodisk funktion som en serie, som har en diskontinuitet på grund av inkonsekvensen hos enskilda bitar av en sinusoid. Som ett resultat visas övertoner i spektrumet, vilket bör sammanfatta funktionens form, inklusive denna diskontinuitet. För att erhålla ett "korrekt" spektrum av en signal, som är summan av flera sinusoider med olika perioder, är det således nödvändigt att ett heltal perioder av varje sinusoid passar in i signalmätningsperioden. I praktiken kan detta villkor uppfyllas under en tillräckligt lång signalmätningstid. Fig. 13 Exempel på funktion och spektrum för signalen för växellådans kinematiska fel Med en kortare varaktighet kommer bilden att se "sämre" ut: Fig. 14 Exempel på rotorvibrationssignalfunktion och spektrum I praktiken kan det vara svårt att förstå var de "riktiga komponenterna" är, och var är "artefakterna" orsakade av att komponenternas perioder och signalprovningens varaktighet inte är flera, eller "hoppen och brytningar "av vågformen. Orden "riktiga komponenter" och "artefakter" är naturligtvis inte förgäves tagna i citattecken. Förekomsten av många övertoner på spektrumgrafen betyder inte att vår signal i verkligheten "består" av dem. Det är som att tänka att siffran 7 "består" av siffrorna 3 och 4. Talet 7 kan representeras som summan av siffrorna 3 och 4 - detta är korrekt. Så vår signal ... eller snarare inte ens "vår signal", men en periodisk funktion som består av att upprepa vår signal (prov) kan representeras som en summa av övertoner (sinusoider) med vissa amplituder och faser. Men i många fall som är viktiga för praktiken (se figurerna ovan) är det verkligen möjligt att associera de övertoner som erhålls i spektrumet med verkliga processer som har en cyklisk karaktär och ger ett betydande bidrag till signalformen. 2. Signalen representeras av en uppsättning verkliga värden och dess spektrum representeras av en uppsättning verkliga värden. Harmoniska frekvenser är positiva. Att matematiker tycker att det är mer bekvämt att representera spektrumet i en komplex form med negativa frekvenser betyder inte att "detta är korrekt" och "detta bör alltid göras." 3. Signalen som mäts vid tidsintervallet T bestäms endast vid tidsintervallet T. Vad som hände innan vi började mäta signalen, och vad som kommer att hända efter det, är okänt för vetenskapen. Och i vårt fall är det inte intressant. DFT för en tidsbegränsad signal ger sitt "sanna" spektrum, i den meningen att det under vissa förhållanden tillåter en att beräkna amplituden och frekvensen för dess komponenter. Begagnade material och andra användbara material. 2.1. Spektra av periodiska signaler
En periodisk signal (ström eller spänning) kallas denna typ av handling när vågformen upprepas efter ett visst tidsintervall T, som kallas en period. Den enklaste formen av en periodisk signal är en harmonisk signal eller sinusoid, som kännetecknas av amplitud, period och inledande fas. Alla andra signaler kommer att vara inharmonisk eller icke-sinusformad... Det kan visas, och praktiken bevisar detta, att om insignalen från strömförsörjningen är periodisk, kommer alla andra strömmar och spänningar i varje gren (utsignaler) också att vara periodiska. I detta fall kommer vågformerna i olika grenar att skilja sig från varandra. Det finns en allmän teknik för att studera periodiska inharmoniska signaler (inmatade influenser och deras reaktioner) i en elektrisk krets, som är baserad på sönderdelning av signaler i en Fourier -serie. Denna teknik består i det faktum att det alltid är möjligt att välja ett antal harmoniska (dvs sinusformade) signaler med sådana amplituder, frekvenser och inledande faser, vars algebraiska summa av ordinataten när som helst är lika med ordinatorn för undersökt icke-sinusformad signal. Så till exempel spänningen u i fig. 2.1. kan ersättas med summan av påfrestningar och eftersom den likvärdiga likheten vid varje tillfälle sker: För det aktuella exemplet har vi perioden för den första harmoniken som sammanfaller med perioden för den icke -harmoniska signalenT 1
=
T, och perioden för den andra övertonen är halva storlekenT 2
=
T/ 2, d.v.s. momentana värden för övertoner bör skrivas som: Här är amplituden för harmoniska svängningar lika med varandra ( Ris. 2.1. Ett exempel på att lägga till den första och andra övertonerna inharmonisk signal Inom elektroteknik kallas den harmoniska komponenten, vars period är lika med perioden för den icke-harmoniska signalen, den första eller grundläggande harmonisk av signalen. Alla andra komponenter kallas högre harmoniska komponenter. En överton, vars frekvens är k gånger större än den första övertonen (och perioden respektive k gånger mindre), kallas k - th harmonic. Medelvärdet för funktionen för perioden utmärks också, vilket kallas null harmonisk. I det allmänna fallet är Fourier -serien skriven som summan av ett oändligt antal harmoniska komponenter med olika frekvenser: (2.1)
där k är antalet övertoner; - vinkelfrekvensen för k - th harmoniska; ω 1 = ω = 2 π / T- vinkelfrekvensen för den första övertonen; - noll harmonisk. För signaler om vanliga vågformer kan Fourier -seriens expansion hittas i litteraturen. Tabell 2 visar sönderdelningarna för åtta vågformer av periodiska signaler. Det bör noteras att de sönderdelningar som anges i tabell 2 kommer att ske om koordinatsystemets ursprung väljs enligt figurerna till vänster. när tidens ursprung ändras tövertonernas inledande faser kommer att förändras, medan övertonernas amplituder kommer att förbli desamma. Beroende på vilken typ av signal som undersöks ska V förstås antingen som ett värde mätt i volt, om det är en spänningssignal eller ett värde mätt i ampere, om det är en strömsignal. Fourierserieutbyggnad av periodiska funktioner Tabell 2 Schema f(t)
Fourier -serie funktionerf(t)
Notera k = 1,3,5, ... k = 1,3,5, ... k = 1,3,5, ... k = 1,2,3,4,5 k = 1,3,5, ... k = 1,2,3,4,5 S = 1,2,3,4, .. k = 1,2,4,6, .. Signalerna 7 och 8 bildas från en sinusoid med hjälp av kretsar som använder grindelement. Uppsättningen av harmoniska komponenter som bildar en icke-sinusformad signal kallas spektrumet för denna icke-harmoniska signal. Från denna uppsättning övertoner är isolerade och utmärkta amplitud och fas spektrum. Ett amplitudspektrum är en uppsättning amplituder för alla övertoner, som vanligtvis representeras av ett diagram som en uppsättning vertikala linjer, vars längder är proportionella (på en vald skala) till amplitudvärdena för de harmoniska komponenterna, och platsen på den horisontella axeln bestäms av frekvensen (harmoniskt tal) för denna komponent. Fasspektra betraktas på samma sätt som en uppsättning inledande faser av alla övertoner; de ritas också i skala som en uppsättning vertikala linjer. Det bör noteras att de inledande faserna inom elektroteknik vanligtvis mäts i intervallet från –180 0 till +180 0. Spektra som består av separata linjer kallas linjär eller diskret... Spektrala linjer ligger på avstånd f isär var f- frekvensintervall lika med frekvensen för den första övertonen f Således har de diskreta spektra för periodiska signaler spektrala komponenter med flera frekvenser - f,
2f, 3f, 4f, 5f etc. Exempel 2.1. Hitta amplituden och fasspektrumet för en rektangulär signal när varaktigheten för de positiva och negativa signalerna är lika och medelvärdet för funktionen under perioden är noll u(t) = V för 0<t<T/2
u(t) = -V för T/2<t<T
För signaler om enkla, ofta använda formulär, är det lämpligt att hitta en lösning med hjälp av tabeller. Ris. 2.2. Linjärt amplitudspektrum för en rektangulär signal Av expansionen i Fourier -serien av en rektangulär signal (se tabellerna 2 - 1) följer att den harmoniska serien endast innehåller udda övertoner, medan amplituden hos övertonerna minskar i proportion till det harmoniska talet. Amplitudlinjespektrumet för övertoner visas i fig. 2.2. Vid konstruktion antas det att amplituden för den första övertonen (här spänning) är lika med en volt: B; då blir amplituden för den tredje övertonen B, den femte - B, och så vidare. De inledande faserna för alla signalharmoniker är lika med noll, därför har fasspektrumet endast nollordinerade värden. Problemet är löst. Exempel 2.2.Hitta amplituden och fasspektrumet för en spänning som ändras enligt lagen: vid - T/4<t<T/4; u(t) = 0 för T/4<t<3/4T... En sådan signal bildas från en sinusoid genom att (i en krets som använder grindelement) eliminera den negativa delen av den harmoniska signalen. Ris. 2.3. Linjärt spektrum av halvvågsriktningsignal: a) amplitud; b) fas För en halvvågslikriktningssignal för en sinusformad spänning (se tabellerna 2 - 8) innehåller Fourier -serien en konstant komponent (noll överton), den första övertonen, och sedan en uppsättning av endast jämna övertoner, vars amplituder snabbt minskar med ökande harmoniskt antal. Om vi till exempel sätter värdet V = 100 B, multiplicerar vi varje term med en gemensam faktor 2V / π(2.2)
Amplituden och fasspektra för denna signal visas i figur 2.3a, b. Problemet är löst. I enlighet med teorin om Fourier -serier sker den exakta likheten mellan en inharmonisk signal och summan av övertoner endast för ett oändligt stort antal övertoner. Beräkning av harmoniska komponenter på en dator låter dig analysera valfritt antal övertoner, som bestäms av beräkningens syfte, noggrannhet och form av den icke -harmoniska effekten. Om signalens varaktighett
oavsett form, mycket mindre än perioden T, då kommer amplituden för övertonerna att minska långsamt, och för en mer fullständig beskrivning av signalen är det nödvändigt att ta hänsyn till ett stort antal termer i serien. Denna funktion kan spåras för de signaler som presenteras i tabell 2 - 5 och 6, när tillståndet τ
<<T... Om en inharmonisk signal är nära sinusformen (till exempel signalerna 2 och 3 i tabell 2), minskar övertonerna snabbt, och för en exakt beskrivning av signalen är det tillräckligt att begränsa oss till tre till fem övertoner av serien.
Ur matematisk synvinkel, hur många misstag finns det i denna fras?
Nu bestämde cheferna att vi bestämde att 5 sekunder är för lång, låt oss mäta signalen på 0,5 sekunder. 
Fig. 3 Diagram över funktionen sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) vid en mätperiod på 0,5 sek
Fig. 4 Funktionsspektrum2. Kontinuerlig funktion och dess representation av Fourier -serien
Matematiskt är vår signal med en varaktighet på T sekunder någon funktion f (x) definierad på intervallet (0, T) (X i detta fall är tid). En sådan funktion kan alltid representeras som en summa av harmoniska funktioner (sinusoider eller cosinus) i formen:
T - segmentet där funktionen är definierad (signallängd)
Ak är amplituden för den kth harmoniska komponenten,
? k är den inledande fasen av den k-th harmoniska komponenten
där, k-komplex amplitud.
Den matematiska grunden för spektralanalys av signaler är Fouriertransformationen.
Spektrumet för denna funktion är diskret, det vill säga det presenteras i form av en oändlig serie harmoniska komponenter - Fourier -serien.
Faktum är att Fourier -serien definierar en viss periodisk funktion som sammanfaller med vår i segmentet (0, T), men för oss är denna periodicitet inte nödvändig.
För att öka upplösningen med 2 gånger till 0,5 Hz är det nödvändigt att öka mätningstiden med 2 gånger - upp till 2 sekunder. En signal med en varaktighet av 10 sekunder kan brytas ned i harmoniska komponenter (för att erhålla ett spektrum) med en frekvensupplösning på 0,1 Hz. Det finns inga andra sätt att öka frekvensupplösningen.3. Diskreta signaler och diskreta Fouriertransform
Med utvecklingen av digital teknik har metoderna för att lagra mätdata (signaler) också förändrats. Om signalen tidigare kunde spelas in på en bandspelare och lagras på band i analog form, digitaliseras nu signalerna och lagras i filer i datorns minne i form av en uppsättning nummer (räkningar).
Värdet på s visar antalet totala harmoniska svängningar vid perioden T (signalmätningens varaktighet). Diskret Fouriertransform används för att hitta amplituden och faserna för övertoner numeriskt, d.v.s. "på datorn"Några resultat
1. Den verkliga uppmätta signalen, varaktighet T sek, digitaliserad av ADC, det vill säga representerad av en uppsättning diskreta prover (N stycken), har ett diskret icke-periodiskt spektrum, representerat av en uppsättning övertoner (N / 2 stycken ). 
... Var och en av termerna är en sinusformad, vars oscillationsfrekvens är associerad med perioden T heltalsrelationer.
), och de inledande faserna är lika med noll.
a) b)
