Med en slumpmässig process betyder en uppsättning (ensemble) av tidsfunktioner, man måste komma ihåg att funktioner som har olika former motsvarar olika spektrala egenskaper. Genomsnittet av den komplexa spektrala tätheten definierad av (1.47) över alla funktioner leder till ett nollspektrum för processen (för M[x(t)]=0 ) på grund av slumpmässigheten och oberoendet av faserna för de spektrala komponenterna i olika implementeringar.
Det är emellertid möjligt att introducera begreppet spektraltäthet för medelkvadraten för en slumpmässig funktion, eftersom värdet på medelkvadraten inte beror på förhållandet mellan faserna för de summerade övertonerna. Om under en slumpmässig funktion x(t) antyder elektrisk spänning eller ström, då kan medelkvadraten för denna funktion ses som medeleffekten som förbrukas i ett 1 ohm-motstånd. Denna kraft är fördelad över frekvenser i ett visst band, beroende på mekanismen för bildandet av en slumpmässig process.
Medeleffektspektraldensiteten är medeleffekten per Hz vid en given frekvens ω . Funktion Dimension W(ω) , som är förhållandet mellan effekt och bandbredd, är
Spektraldensiteten för en slumpmässig process kan hittas om mekanismen för bildandet av en slumpmässig process är känd. När det gäller bruset som är förknippat med den atomistiska strukturen av materia och elektricitet, kommer denna uppgift att bli senare. Här begränsar vi oss till några allmänna definitioner.
Att välja någon implementering från ensemblen xk(t) och begränsa dess varaktighet till ett ändligt intervall T, kan vi tillämpa den vanliga Fouriertransformen på den och hitta den spektrala tätheten X kT (ω). Sedan kan energin för det aktuella implementeringssegmentet beräknas med hjälp av formeln:
(1.152)
Genom att dela upp denna energi i T, få medeleffekten k-th implementering på segmentet T
(1.153)
Med en ökning T energi EkTökar, men förhållandet
tenderar till en viss gräns. Efter att ha gjort övergången till gränsen får vi:
G 
de
representerar medeleffektspektral densitet anses vara k-th genomförande.
I allmänhet värdet W k (ω) måste beräknas i genomsnitt över många implementeringar. Om vi i detta fall begränsar oss till att betrakta en stationär och ergodisk process, kan vi anta att funktionen som hittas genom att medelvärde över en realisering W k (ω) präglar hela processen. Om vi utelämnar indexet k, erhåller vi det slutliga uttrycket för medelkraften för den slumpmässiga processen
För ett nollmedelvärde
(1.156)
Det framgår av definitionen av spektral densitet (1,155) att W X (ω) är en jämn och icke-negativ funktion ω.
1.5.3 Samband mellan spektral densitet och kovariansfunktion för en slumpmässig process
Å ena sidan förändringstakten X(t) med tiden bestämmer bredden på spektrumet. På andra sidan, förändringshastigheten x(t) bestämmer förloppet av kovariansfunktionen. Det är uppenbart att mellanW X (ω) och K X(τ) det finns ett nära samband.
Wiener-Khinchin-satsen säger det Till X (τ) och W x (ω) är sammankopplade med Fourier-transformer:
(1.157)
(1.158)
För slumpmässiga processer med noll medelvärde har liknande uttryck formen:
Från dessa uttryck följer en egenskap som liknar egenskaperna hos Fourier-transformer för deterministiska signaler: ju bredare spektrum av en slumpmässig process, desto mindre korrelationsintervall, och följaktligen, ju större korrelationsintervall, desto snävare spektrum av processen (se fig. 1.20).
Fig.1.20. Bredbands- och smalbandsspektra av en slumpmässig process; gränserna för den centrala remsan: ±F 1
Av stort intresse är vitt brus när spektrumet är enhetligt vid alla frekvenser.
Om vi ersätter uttrycket 1.158 Wx(ω) = W 0 = const, då får vi
där δ(τ) är deltafunktionen.
För vitt brus med ett oändligt och enhetligt spektrum är korrelationsfunktionen noll för alla värden på τ utom τ = 0 , vid vilken R x (0) vänder till oändligheten. Sådant brus, som har en nålstruktur med oändligt fina slumpmässiga toppar, kallas ibland en delta-korrelerad process. Spridningen av vitt brus är oändligt stor.
Frågor för självrannsakan
Vilka är de viktigaste egenskaperna hos en slumpmässig signal.
Hur matematiskt är korrelationsfunktionen och energispektrumet för en slumpmässig signal relaterade.
Vilken slumpmässig process som kallas stationär.
Vilken slumpmässig process som kallas ergodisk.
Hur enveloppen, fasen och frekvensen för en smalbandssignal bestäms
Vilken signal kallas analytisk.
Korseffektspektraltäthet (korseffektspektrum) två realiseringar och stationära ergodiska slumpmässiga processer och definieras som den direkta Fouriertransformen över deras ömsesidiga kovariansfunktion
eller, givet förhållandet mellan cirkulära och cykliska frekvenser,
Den inversa Fouriertransformen relaterar den ömsesidiga kovariansfunktionen och effektspektraltätheten:
På samma sätt som (1.32), (1.33) introducerar vi effektspektral densitet (effektspektrum) slumpmässig process
Funktionen har paritetsegenskapen:
Följande förhållande är giltigt för den ömsesidiga spektrala tätheten:
var är funktionen komplex konjugera till .
Ovanstående formler för spektrala tätheter är definierade för både positiva och negativa frekvenser och kallas dubbelsidiga spektrala tätheter . De är praktiska i den analytiska studien av system och signaler. I praktiken använder de spektrala tätheter som endast definieras för icke-negativa frekvenser och kallas ensidig (Figur 1.14):
Figur 1.14 - Ensidig och tvåsidig
spektrala tätheter
Låt oss härleda ett uttryck som relaterar den ensidiga spektrala tätheten för den stationära SP med dess kovariansfunktion:
Låt oss ta hänsyn till paritetsegenskapen för kovariansfunktionen för den stationära SP och cosinusfunktionen, den udda egenskapen för sinusfunktionen och symmetrin för integrationsgränserna. Som ett resultat försvinner den andra integralen i uttrycket som erhållits ovan, och i den första integralen kan man halvera integrationens gränser, dubbla koefficienten:
Uppenbarligen är effektspektraltätheten för en slumpmässig process en verklig funktion.
På liknande sätt kan det omvända förhållandet erhållas:
Av uttryck (1.42) vid , följer det att
Detta betyder att den totala arean under den ensidiga spektraldensitetsdiagrammet är lika med medelkvadraten för den slumpmässiga processen. Med andra ord tolkas den ensidiga spektrala tätheten som medelkvadratfördelningen av processen över frekvenser.
Ytan under grafen för ensidig densitet, innesluten mellan två godtyckliga värden på frekvens och , är lika med medelkvadraten för processen i detta frekvensband i spektrumet (Figur 1.15):
Figur 1.15 - Spektral densitetsegenskap
Den ömsesidiga kraftens spektraltäthet är en komplex storhet, så den kan representeras i exponentiell form i termer av modul och fasvinkel :
var är modulen;
är fasvinkeln;
, är de verkliga och imaginära delarna av funktionen, respektive.
Modulen för den inbördes spektrala tätheten ingår i den viktiga ojämlikheten
Denna ojämlikhet låter oss bestämma koherensfunktion (koherenskvadrat), som liknar kvadraten på den normaliserade korrelationsfunktionen:
Det andra sättet att introducera spektraldensiteter är den direkta Fouriertransformen av slumpmässiga processer.
Låta och vara två stationära ergodiska slumpmässiga processer för vilka ändliga Fouriertransformer th implementeringar av längden definieras som
Den tvåsidiga ömsesidiga spektrala tätheten för dessa slumpmässiga processer introduceras med hjälp av produkten genom relationen
där förväntningsoperatorn avser operationen att beräkna ett medelvärde över indexet.
Beräkningen av den tvåsidiga spektrala tätheten för en slumpmässig process utförs enligt relationen
Ensidiga spektraldensiteter introduceras på liknande sätt:
Funktionerna som definieras av formlerna (1.49), (1.50) är identiska med motsvarande funktioner som definieras av relationer (1.32), (1.33) när Fourier-transformerar över kovariansfunktioner. Detta uttalande kallas Wiener-Khinchins satser.
testfrågor
1. Ge en klassificering av deterministiska processer.
2. Vad är skillnaden mellan polyharmoniska och nästan periodiska processer?
3. Formulera definitionen av en stationär slumpmässig process.
4. Vilken metod för att beräkna medelvärdet för egenskaperna hos en ergodisk slumpmässig process är att föredra - medelvärde över en ensemble av sampelfunktioner eller medelvärde över observationstiden för en realisering?
5. Formulera definitionen av sannolikhetsfördelningstätheten för en slumpmässig process.
6. Skriv ner ett uttryck som kopplar samman korrelations- och kovariansfunktionerna för en stationär slumpmässig process.
7. När anses två slumpmässiga processer vara okorrelerade?
8. Ange metoder för att beräkna medelkvadraten för en stationär slumpmässig process.
9. Med vilken transformation är spektraltätheten och kovariansfunktionerna för en slumpmässig process relaterade?
10. I vilken utsträckning förändras värdena för koherensfunktionen för två slumpmässiga processer?
Litteratur
1. Sergienko, A.B. Digital signalbehandling / A.B. Sergienko. - M: Peter, 2002. - 604 sid.
2. Sadovsky, G.A. Teoretiska grunder för informationsmätutrustning / G.A. Sadovsky. - M.: Högre skola, 2008. - 480 sid.
3. Bendat, D. Tillämpning av korrelation och spektralanalys / D. Bendat, A. Pirsol. – M.: Mir, 1983. – 312 sid.
4. Bendat, D. Mätning och analys av slumpmässiga processer / D. Bendat, A. Pirsol. – M.: Mir, 1974. – 464 sid.
1) I sin fysiska betydelse är kraftspektrumet verkligt och icke-negativt:
Därför är det i grunden omöjligt att återställa en individuell implementering av en slumpmässig process från effektspektrumet.
2) Eftersom det är en jämn funktion av argumentet, är motsvarande effektspektrum en jämn funktion av frekvensen. Därav följer att paret av Fourier-transformer (6.14), (6.15) kan skrivas med integraler i semi-oändliga gränser:
(6.17)
(6.18)
3. Det är tillrådligt att introducera det så kallade ensidiga effektspektrumet för en slumpmässig process, som definierar det på följande sätt:
(6.19)
Funktionen låter dig beräkna variansen för en stationär slumpmässig process genom att integrera över positiva (fysiska frekvenser):
(6.20)
4. I tekniska beräkningar introduceras ofta ensidigt effektspektrum N(f), vilket är medeleffekten av en slumpmässig process per frekvensintervall 1 Hz brett:
(6.21)
Det är dock lätt att se
En mycket viktig parameter för slumpmässiga processer är korrelationsintervallet. Slumpmässiga processer har som regel följande egenskaper: deras korrelationsfunktion tenderar till noll med ökande tidsförskjutning. Ju snabbare funktionen minskar, desto mindre är det statistiska förhållandet mellan de momentana värdena för en slumpmässig signal vid två icke-sammanfallande tidpunkter.
En numerisk egenskap som tjänar till att bedöma "förändringshastigheten" för implementeringen av en slumpmässig process är korrelationsintervallet som definieras av uttrycket:
(6.22)
Om information är känd om beteendet för någon implementering "tidigare", är en probabilistisk prognos för en slumpmässig process möjlig för en tidpunkt för beställning.
En annan viktig parameter för en slumpmässig process är spektrumets effektiva bredd. Låt den slumpmässiga processen som studeras karakteriseras av en funktion - ett ensidigt effektspektrum, och - extremvärdet av denna funktion. Låt oss ersätta den mentalt givna slumpmässiga processen med en annan process vars effektspektraltäthet är konstant och lika inom det effektiva frekvensbandet, vald från villkoret för likhet mellan medeleffekterna för båda processerna:
Detta ger formeln för den effektiva spektrumbredden:
(6.23)
Utanför det specificerade bandet anses spektraldensiteten för en slumpmässig process vara 0.
Denna numeriska egenskap används ofta för teknisk beräkning av brussignalspridning: .
Om implementeringar av en slumpmässig process har dimensionen spänning (V), så har det relativa effektspektrumet N dimensionen .
Vitt brus och dess egenskaper. Gaussisk slumpmässig process.
A) vitt brus.
en stationär slumpmässig process med konstant effektspektraltäthet vid alla frekvenser kallas vitt brus.
(7.1)
Enligt Wiener-Khinchin-satsen är korrelationsfunktionen för vitt brus:
är lika med noll överallt utom för punkten . Den genomsnittliga effekten (variansen) av vitt brus är oändligt stor.
Vitt brus är en delta-korrelerad process. Okorrelationen hos de momentana värdena för en sådan slumpmässig signal innebär en oändligt hög förändringshastighet över tiden - oavsett hur litet intervallet är, kan signalen under denna tid ändras med vilket förutbestämt värde som helst.
Vitt brus är en abstrakt matematisk modell och den fysiska processen som motsvarar den finns naturligtvis inte i naturen. Detta hindrar oss dock inte från att ungefär ersätta riktiga tillräckligt bredbandiga slumpmässiga processer med vitt brus i de fall bandbredden på den krets som påverkas av den slumpmässiga signalen visar sig vara betydligt smalare än brusspektrumets effektiva bredd.
Att uppskatta den spektrala effekttätheten är ett välkänt problem för slumpmässiga processer. Exempel på slumpmässiga processer är brus, samt signaler som bär information. Vanligtvis krävs det att hitta en statistiskt stabil uppskattning. Signalanalys behandlas i detalj i kursen Digital signalbehandling. Inledande information ges i.
För signaler med kända statistiska egenskaper kan den spektrala sammansättningen bestämmas från det ändliga intervallet för denna signal. Om de statistiska egenskaperna för signalen är okända för ett segment av signalen, kan endast en uppskattning av dess spektrum erhållas. Olika metoder använder olika antaganden och ger därför olika uppskattningar.
Vid val av uppskattning antas det att den analyserade signalen i det allmänna fallet är en slumpmässig process. Och det krävs att man väljer en opartisk uppskattning med en liten spridning, vilket möjliggör ett medelvärde av signalspektrat. Bias är skillnaden mellan medelvärdet av skattningen och det verkliga värdet av kvantiteten. En opartisk uppskattning är en uppskattning med noll bias. En uppskattning med liten varians lokaliserar väl de sökta värdena, d.v.s. sannolikhetstätheten är koncentrerad kring medelvärdet. Det är önskvärt med en konsekvent bedömning, d.v.s. en uppskattning som närmar sig det sanna värdet när urvalsstorleken ökar (bias och varians tenderar att bli noll). Det finns parametriska uppskattningar, som endast använder information om själva signalen, och icke-parametriska, som använder en statistisk modell av en slumpmässig signal och väljer parametrarna för denna modell.
Vid utvärdering av slumpmässiga processer är användningen av korrelationsfunktioner vanligt.
För en ergodisk process är det möjligt att bestämma de statistiska parametrarna för processen genom att beräkna ett medelvärde över en implementering.
För stationär slumpmässig process korrelationsfunktionen Rx(t) beror på det tidsintervall för vilket den bestäms. Detta värde kännetecknar förhållandet mellan värdena x(t) åtskilda av intervallet t. Ju långsammare R(t) minskar, desto längre intervall under vilket det finns ett statistiskt samband mellan värdena för den slumpmässiga processen.
var är den matematiska förväntan x(t).
Förhållandet mellan korrelationsfunktionen R(t) och effektspektraltätheten W(w) för en slumpmässig process bestäms av Wiener-Khinchin-satsen
För diskreta processer etablerar Wiener-Khinchin-satsen en koppling mellan spektrumet av en diskret slumpmässig process W(w) och dess korrelationsfunktion R x (n)
W(w)= R x (n) exp(-j w n T)
För att uppskatta signalenergin i tids- och frekvensdomänerna används Parseval-ekvationen
Ett av de vanligaste sätten att få en uppskattning av spektraldensiteten är att använda periodogrammetoden.
Periodogram I denna metod utförs en diskret Fouriertransform för signalen x(n) som ges vid diskreta samplingspunkter med längden N sampel och dess statistiska medelvärdesberäkning. Den faktiska beräkningen av spektrumet, X(k), utförs endast vid ett ändligt antal frekvenspunkter N. Fast Fourier Transform (FFT) tillämpas. Effektspektraltätheten per ett sampel beräknas:
P xx (Xk)=|X(k)| 2/N, X(k)=, k=0,1,…,N-1.
För att erhålla en statistiskt stabil uppskattning delas tillgängliga data upp i överlappande prover, följt av ett medelvärde av de spektra som erhållits från varje prov. Antalet sampel per prov N och förskjutningen av början av varje efterföljande prov i förhållande till början av det föregående Nt specificeras. Ju mindre antal stickprov i urvalet är, desto fler stickprov och desto mindre varians för uppskattningarna. Men eftersom sampellängden N är relaterad till frekvensupplösningen (2,4) leder en minskning av sampellängden till en minskning av frekvensupplösningen.
Således ses signalen genom fönstret, och data som inte faller in i fönstret tas lika med noll. Den slutliga signalen x(n) som består av N sampel representeras vanligtvis som resultatet av multiplicering av en signal oändlig i tid (n) på ett rektangulärt fönster med en ändlig längd w R (n):
x(n) = (n) w R (n),
och det kontinuerliga spektrumet XN(f) för de observerade signalerna x(n) definieras som faltningen av Fouriertransformerna X(f), WR(f) för den tidsoändliga signalen (n)∙och windows w R (n)
XN(f)=X(f)*W R(f)=
Spektrum av ett kontinuerligt rektangulärt fönster (rekt) har formen av en integral sinus sinc(x)=sin(x)/x. Den innehåller huvud-"loben" och flera sidolober, varav den största ligger ungefär 13 dB under huvudtoppen (se fig. 15).
Fouriertransformationen (spektrum) av en diskret sekvens erhållen genom N-punktsdiskretisering av ett kontinuerligt rektangulärt fönster visas i Fig. 32. Det kan beräknas genom att summera de förskjutna integral sinus (2.9), vilket resulterar i Dirichlet kärnan
Ris. 32. Spektrum av ett diskret rektangulärt fönster
Medan en signal med oändlig längd kommer att koncentrera sin effekt exakt till en diskret frekvens fk, har ett rektangulärt signalsampel ett fördelat effektspektrum. Ju kortare provet är, desto mer fördelat spektrum.
Vid spektralanalys viktas data med hjälp av fönsterfunktioner, vilket minskar inverkan av sidolober på spektraluppskattningar.
För att detektera två övertoner f 1 och f 2 med nära frekvenser är det nödvändigt att för tidsfönstret T bredden på huvudloben Df -3 ≈ Df L = 0 = 1/T, bestämt till ett värde av -3 dB, vara mindre än skillnaden mellan de önskade frekvenserna
Df=fi-f2 > Df-3
Bredden på tidsfönstret T är relaterad till samplingshastigheten f s och antalet provprover med formeln (2.4).
Verktyg för harmonisk analys. För att studera signaler är det mycket bekvämt att använda MATLAB-paketet, i synnerhet dess applikation (Toolbox) Signal Processing.
Modifierade periodogram använd icke-rektangulära fönsterfunktioner som minskar Gibbs-effekten. Ett exempel är användningen av Hamming-fönstret. Men samtidigt fördubblas bredden på spektrogrammets huvudlob ungefär. Kaiser-fönstret har blivit något mer optimerat. Att öka bredden på huvudloberna när man skapar lågpassfilter leder till en ökning av övergångsbandet (mellan pass- och stoppbanden).
Welch poängfunktion (Welch). Metoden består av att dela upp konsekutiva tidsdata i segment (eventuellt överlappande), sedan bearbeta varje segment och sedan uppskatta spektrumet genom att medelvärdesberäkna resultaten av bearbetningen av segmenten. Icke-rektangulära fönsterfunktioner, såsom ett Hamming-fönster, kan användas för att förbättra uppskattningen. Att öka antalet segment minskar variansen, men metodens frekvensupplösning minskar. Metoden ger bra resultat med ett litet överskott av den användbara signalen över bruset och används ofta i praktiken.
Figur 33 visar uppskattningar av övertonsinnehåll för data som innehåller smalbandiga användbara signaler och vitt brus, med olika sampel (N=100, N=67) och med olika metoder.
Ris. 33. Uppskattning av signalövertoner för 1024 punkters FFT-omvandling
Parametriska metoder använda autoregressiva modeller (AR). I metoderna byggs filtermodeller och med deras hjälp uppskattas signalspektra. Alla metoder i närvaro av brus i signalen ger partiska uppskattningar. Metoder är utformade för att behandla signaler med harmoniska komponenter mot bakgrund av brus. Ordningen för metoden (filtret) är inställd på två gånger antalet övertoner som finns i signalen. Flera parametriska metoder har föreslagits.
Burgmetoden ger hög frekvensupplösning för korta sampel. Med en stor filterordning delas spektraltopparna. Placeringen av spektraltopparna beror på de initiala övertonsfaserna.
Kovariansmetoden gör det möjligt att uppskatta spektrumet för en signal som innehåller summan av övertonskomponenter.
Yule-Walker-metoden ger bra resultat på långa prover och rekommenderas inte för korta prover.
Korrelationsmetoder. Metoderna MISIC (Multiple Signal Classification) och EV (egenvektorer) ger resultat i form av ett pseudospektrum. Metoderna är baserade på analys avna. Dessa metoder ger något bättre frekvensupplösning än autokorrelationsmetoder.
Låt signalen s(t) ges som en icke-periodisk funktion, och den existerar endast på intervallet ( t 1 ,t 2) (exempel - enkel puls). Låt oss välja en godtycklig tidsperiod T, som inkluderar intervallet ( t 1 ,t 2) (se fig. 1).
Låt oss beteckna den periodiska signalen som erhålls från s(t), som ( t). Då kan vi skriva Fourier-serien för den
För att komma till funktionen s(t) följer i uttrycket ( t) låt perioden gå till oändlighet. I detta fall antalet harmoniska komponenter med frekvenser w=n 2sid/T kommer att vara oändligt stora, kommer avståndet mellan dem att tendera till noll (till ett oändligt litet värde:
amplituderna för komponenterna kommer också att vara oändligt små. Därför är det inte längre möjligt att prata om spektrumet för en sådan signal, eftersom spektrumet blir kontinuerligt.
Den inre integralen är en funktion av frekvensen. Det kallas signalens spektrala täthet, eller signalens frekvenssvar och betecknas d.v.s.
För generalitet kan gränserna för integration sättas till oändliga, eftersom det är likadant där s(t) är lika med noll och integralen är lika med noll.
Uttrycket för spektraltätheten kallas den direkta Fouriertransformen. Den inversa Fouriertransformen bestämmer tidsfunktionen för en signal från dess spektrala täthet
de direkta (*) och inversa (**) Fouriertransformerna kallas kollektivt för ett par Fouriertransformer. Spektral densitetsmodul 
bestämmer amplitud-frekvenskarakteristiken (AFC) för signalen och dess argument 
kallas fasfrekvenskarakteristiken (PFC) för signalen. Signalens frekvenssvar är en jämn funktion och fassvaret är udda.
Innebörden av modulen S(w) definieras som amplituden av en signal (ström eller spänning) per 1 Hz i ett oändligt smalt frekvensband som inkluderar frekvensen av intresse w. Dess dimension är [signal/frekvens].
Energispektrum för signalen. Om funktionen s(t) har Fouriereffekttätheten för signalen ( spektral densitet för signalenergi) bestäms av uttrycket:
w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2 |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)
Effektspektrat W() är en verklig icke-negativ jämn funktion, som brukar kallas energispektrum. Effektspektrumet, som kvadraten på modulen för signalens spektrala täthet, innehåller inte fasinformation om dess frekvenskomponenter, och därför är det omöjligt att återställa signalen från effektspektrumet. Detta innebär också att signaler med olika fasegenskaper kan ha samma effektspektra. I synnerhet påverkar inte signalförskjutningen dess effektspektrum. Det senare gör det möjligt att få ett uttryck för energispektrat direkt från uttryck (5.2.7). I gränsen, för identiska signaler u(t) och v(t) med en förskjutning t 0, tenderar den imaginära delen av spektrumet Wuv () till nollvärden, och den reella delen - till värdena på modulen för spektrumet. Med fullt tidsmässigt sammanfallande av signaler har vi:
de där. signalenergin är lika med integralen av den kvadratiska modulen av dess frekvensspektrum - summan av energin för dess frekvenskomponenter, och är alltid ett verkligt värde.
För en godtycklig signal s(t), är likheten
brukar kallas Parseval-likheten (i matematik - Plancherels sats, i fysik - Rayleigh-formeln). Jämlikheten är uppenbar, eftersom koordinat- och frekvensrepresentationerna i huvudsak bara är olika matematiska representationer av samma signal. På liknande sätt för interaktionsenergin för två signaler:
Från Parseval-jämlikheten följer invariansen av den skalära produkten av signaler och normen med avseende på Fouriertransformen:
I ett antal rent praktiska problem med att registrera och sända signaler är signalens energispektrum av mycket stor betydelse. Periodiska signaler översätts till spektralområdet i form av Fourierserier. Vi skriver en periodisk signal med en period T i form av en Fourierserie i komplex form:
Intervallet 0-T innehåller ett heltal av perioder av alla integrander för exponenterna och är lika med noll, förutom exponenten vid k = -m, för vilken integralen är T. Följaktligen är medeleffekten för en periodisk signal är lika med summan av kvadraterna av modulerna av koefficienterna för dess Fourier-serie:
Energispektrum för signalen är energifördelningen av de grundsignaler som utgör den icke-harmoniska signalen på frekvensaxeln. Matematiskt är signalens energispektrum lika med kvadraten på modulen för spektralfunktionen:
Följaktligen visar amplitud-frekvensspektrumet uppsättningen av amplituder för komponenterna i de grundläggande signalerna på frekvensaxeln, och fas-frekvensspektrumet visar uppsättningen av faser
Modulen för spektralfunktionen kallas ofta amplitudspektrum, och dess argument är fasspektrum.
Dessutom finns det en invers Fourier-transform som låter dig återställa den ursprungliga signalen, med kunskap om dess spektrala funktion:
Ta till exempel en rektangulär impuls:
Ett annat exempel på spektra:
Nyquistfrekvens, Kotelnikovs sats .
Nyquist frekvens - vid digital signalbehandling, en frekvens lika med halva samplingsfrekvensen. Uppkallad efter Harry Nyquist. Det följer av Kotelnikov-satsen att vid sampling av en analog signal blir det ingen informationsförlust endast om signalens spektrum (spektraltäthet) (den högsta frekvensen av den användbara signalen) är lika med eller lägre än Nyquist-frekvensen. Annars, när den analoga signalen återställs, kommer det att finnas en överlappning av spektrala "svansar" (frekvenssubstitution, frekvensmaskering), och formen på den återställda signalen kommer att förvrängas. Om signalspektrumet inte har några komponenter över Nyquist-frekvensen kan det (teoretiskt) samplas och sedan rekonstrueras utan distorsion. Faktum är att "digitaliseringen" av en signal (omvandlingen av en analog signal till en digital) är associerad med kvantisering av sampel - varje sampel registreras i form av en digital kod med ändligt bitdjup, som ett resultat av vilket kvantiseringsfel (avrundningsfel) läggs till proverna, under vissa förhållanden som betraktas som "kvantiseringsbrus".
Verkliga signaler med ändlig varaktighet har alltid ett oändligt brett spektrum, som minskar mer eller mindre snabbt med ökande frekvens. Därför leder samplingen av signaler alltid till förlust av information (förvrängning av vågformen under sampling-återställning), oavsett hur hög samplingsfrekvensen är. Vid den valda samplingshastigheten kan distorsion reduceras genom att undertrycka (församplade) analoga signalspektrala komponenter ovanför Nyquist-frekvensen, vilket kräver ett filter av mycket hög ordning för att undvika aliasing. Den praktiska implementeringen av ett sådant filter är mycket komplicerad, eftersom filtrens amplitud-frekvenskarakteristika inte är rektangulära, utan jämna, och ett visst övergångsfrekvensband bildas mellan passbandet och undertryckningsbandet. Därför väljs samplingshastigheten med en marginal, till exempel använder ljud-CD-skivor en samplingshastighet på 44100 Hertz, medan den högsta frekvensen i spektrumet av ljudsignaler anses vara 20000 Hz. Nyquists frekvensmarginal på 44100 / 2 - 20000 = 2050 Hz undviker frekvensersättning vid användning av det implementerade lågordningens filtret.
Kotelnikovs teorem
För att återställa den ursprungliga kontinuerliga signalen från en samplade med små förvrängningar (fel), är det nödvändigt att rationellt välja samplingssteget. Därför, när man konverterar en analog signal till en diskret, uppstår nödvändigtvis frågan om storleken på samplingssteget. Intuitivt är det inte svårt att förstå följande idé. Om den analoga signalen har ett lågfrekvent spektrum begränsat av någon övre frekvens Fe (dvs funktionen u(t) har formen av en jämnt varierande kurva, utan skarpa förändringar i amplituden), är det osannolikt att denna funktion kommer att förändras nämnvärt över ett visst litet samplingstidsintervall.amplitud. Det är helt uppenbart att noggrannheten för att återställa en analog signal från sekvensen av dess sampel beror på värdet på samplingsintervallet. Ju kortare det är, desto mindre kommer u(t)-funktionen att skilja sig från en jämn kurva som passerar genom provet poäng. Men med en minskning av provtagningsintervallet ökar komplexiteten och volymen av bearbetningsutrustning avsevärt. Med ett tillräckligt stort samplingsintervall ökar sannolikheten för förvrängning eller förlust av information när den analoga signalen återställs. Det optimala värdet för diskretiseringsintervallet fastställs av Kotelnikov-satsen (andra namn är samplingssatsen, K. Shannon-satsen, X. Nyquist-satsen: satsen upptäcktes först i matematik av O. Cauchy, och beskrevs sedan igen av D. Carson och R. Hartley), bevisad av honom 1933. V. A. Kotelnikovs teorem är av stor teoretisk och praktisk betydelse: den gör det möjligt att korrekt sampla den analoga signalen och bestämmer det optimala sättet att återställa den vid mottagningssidan från referensvärden.
Enligt en av de mest kända och enkla tolkningarna av Kotelnikov-satsen kan en godtycklig signal u(t), vars spektrum begränsas av en viss frekvens Fe, helt återställas från sekvensen av dess referensvärden som följer med ett tidsintervall
Samplingsintervallet och frekvensen Fe(1) benämns inom radioteknik ofta som intervallet respektive Nyquist-frekvensen. Analytiskt representeras Kotelnikov-satsen av serien 
där k är provnumret; - signalvärde vid referenspunkter - övre frekvensen av signalspektrat.
Frekvensrepresentation av diskreta signaler .
De flesta signaler kan representeras som en Fourier-serie:
