Algebraiskt komplement till en 3x3-matris. Hur beräknar man determinanten (determinanten) för en matris? Mindre och algebraisk tillägg

Matrix minderåriga

Låt en kvadrat matris A, n -:e ordningen. Mindre något element aij , determinanten för en matris av n:te ordningen kallas determinant(n - 1) -:e ordningen, erhållen från originalet genom att radera raden och kolumnen i skärningspunkten där det valda elementet aij är beläget. Betecknad Mij.

Låt oss titta på ett exempel matrisdeterminant 3 - dess ordning:
Mindre och algebraiska tillägg, bestämningsfaktorn för matrisen 3 är dess ordning , då enligt definitionen mindre, mindre M12 motsvarande element a12 kommer att vara determinant:Samtidigt med hjälp minderåriga kan göra det lättare att beräkna matrisdeterminant. Behöver sönderfalla matrisdeterminant längs någon linje och sedan determinant kommer att vara lika med summan av alla element i denna rad och deras minderåriga. Sönderfall matrisdeterminant 3 - dess ordning kommer att se ut så här:

, tecknet före produkten är (-1) n , där n = i + j.

Algebraiska tillägg:

Algebraisk tillägg element aij kallas dess mindre, taget med ett "+"-tecken om summan (i + j) är ett jämnt tal, och med ett "-"-tecken om denna summa är ett udda tal. Betecknad Aij.
Аij = (-1)i+j × Мij.

Då kan vi omformulera ovanstående egenskap. Matrisdeterminantär lika med summan av produkten av elementen i någon serie (rad eller kolumn) matriser till sina respektive algebraiska tillägg. Exempel.

Definition. Om vi väljer godtyckligt k rader och k kolumner i n:te ordningens determinant, så bildar elementen i skärningspunkten mellan de angivna raderna och kolumnerna en kvadratisk matris av ordningen k. Determinanten för en sådan kvadratisk matris kallas k-te ordningen moll .

Betecknad med M k . Om k=1 är första ordningens moll ett element av determinanten.

Elementen i skärningspunkten mellan de återstående (n-k) raderna och (n-k) kolumnerna utgör en kvadratisk matris av ordning (n-k). Determinanten för en sådan matris kallas minor, ytterligare till den mindre M k . Betecknas M n-k.

Algebraisk komplement till moll M k vi kommer att kalla det en extra moll, taget med "+" eller "-" tecknet, beroende på om summan av talen för alla rader och kolumner där den moll M k finns är jämn eller udda.

Om k=1, då det algebraiska komplementet till elementet aik beräknas med formeln

A ik =(-1) i+k M jag, där M ik- mindre (n-1) ordning.

Sats. Produkten av en moll av k-te ordningen och dess algebraiska komplement är lika med summan av ett visst antal termer av determinanten D n .

Bevis

1. Tänk på ett specialfall. Låt den mindre M k ockupera det övre vänstra hörnet av determinanten, det vill säga den ligger i rader med siffrorna 1, 2, ..., k, då kommer den mindre M n-k att uppta raderna k+1, k+2, ..., n.

Låt oss beräkna det algebraiska komplementet till molltalet M k . A-priory,

A n-k=(-1)s M n-k, där s=(1+2+...+k) +(1+2+...+k)= 2(1+2+...+k), sedan

(-1) s=1 och A n-k = M n-k. Skaffa sig

M k A n-k = M k M n-k. (*)

Vi tar en godtycklig term av moll M k

där s är antalet inversioner i substitutionen

och en godtycklig term av minderårig M n-k

där s * är antalet inversioner i substitutionen

Multiplicera (1) och (3), får vi

Produkten består av n element placerade i olika rader och kolumner av determinanten D. Därför är denna produkt en medlem av determinanten D. Produktens tecken (5) bestäms av summan av inversionerna i substitutioner (2) och (4), och tecknet för den analoga produkten i determinanten D bestäms av antalet inversioner s k i substitutionen

Uppenbarligen är s k =s+s * .

För att återgå till jämställdhet (*) får vi alltså produkten M k A n-k består endast av villkoren för determinanten.

2. Låt den mindre M k placerade i rader med siffror i 1 , i 2 , ..., i k och i kolumner med siffror j 1 , j 2 , ..., j k , och jag 1< i 2 < ...< i k och j1< j 2 < ...< j k .

Med hjälp av determinanters egenskaper, med hjälp av transpositioner, flyttar vi moll till det övre vänstra hörnet. Vi får en determinant D ¢ där minor M k upptar det övre vänstra hörnet och den komplementära moll M¢ n-kär det nedre högra hörnet, så får vi, enligt vad som bevisades i punkt 1, att produkten M k M¢ n-kär summan av ett antal element av determinanten D ¢ taget med sitt eget tecken. Men D ¢ erhålls från D med ( i 1 -1)+(i 2 -2)+ ...+(ik -k)=(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k) strängtranspositioner och ( j 1 -1)+(j 2 -2)+ ...+(j k -k)=(j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) kolumntransponeringar. Det vill säga allt var gjort

(i 1 + i 2 + ...+ i k)-(1+2+...+k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- (1+2+...+k) )= (i 1 + i 2 + ...+ i k)+ (j 1 + j 2 + ...+ j k)- 2(1+2+...+k)=s-2(1+2 +...+k). Därför skiljer sig termerna för determinanterna D och D ¢ i tecken (-1) s-2(1+2+...+k) =(-1) s , därför är produkten (-1) s M k M¢ n-k kommer att bestå av ett visst antal termer av determinanten D, tagna med samma tecken som de har i denna determinant.

Laplaces sats. Om vi väljer godtyckligt k rader (eller k kolumner) 1£k£n-1 i n:te ordningens determinant, då är summan av produkterna av alla minorer av kth ordningen som ingår i de valda raderna och deras algebraiska komplement lika med determinanten D.

Bevis

Välj slumpmässiga rader i 1 , i 2 , ..., i k och bevisa det

Det bevisades tidigare att alla element på den vänstra sidan av likheten finns som termer i determinanten D. Låt oss visa att varje term av determinanten D faller in i endast en av termerna. Faktum är att varje t s har formen t s =. om vi i denna produkt markerar de faktorer vars första index i 1 , i 2 , ..., i k, och komponera deras produkt, så kan du se att den resulterande produkten tillhör den k-te ordningens moll. Därför bildar de återstående termerna, tagna från de återstående n-k-raderna och n-k-kolumnerna, ett element som tillhör den komplementära moll, och, med hänsyn till tecknet, till det algebraiska komplementet, därför ev. t s faller in i endast en av produkterna, vilket bevisar satsen.

Följd(sats om expansionen av determinanten i en rad) . Summan av produkterna av elementen i någon rad av determinanten och motsvarande algebraiska tillägg är lika med determinanten.

(Bevis som en övning.)

Sats. Summan av produkterna av elementen i den i:te raden av determinanten och motsvarande algebraiska komplement till elementen i den j:te raden (i¹j) är lika med 0.

Kommentar. Det är bekvämt att tillämpa följden av Laplaces sats på en determinant som transformeras med hjälp av egenskaper på ett sådant sätt att i en av raderna (eller i en av kolumnerna) alla element utom ett är lika med 0.

Exempel. Beräkna determinant

12 -14 +35 -147 -20 -2= -160.

Matrix minderåriga

Låt en kvadrat matris A, n:e ordningen. Mindre något element a ij , matrisdeterminant n:e ordningen kallas determinant(n - 1) -:e ordningen, erhållen från den ursprungliga genom att radera raden och kolumnen i skärningspunkten där det valda elementet a ij är beläget. Betecknad M ij .

Låt oss titta på ett exempel matrisdeterminant 3 - dess ordning:

Då enligt definitionen mindre, mindre M 12 som motsvarar elementet a 12 kommer att vara determinant:

Samtidigt med hjälp minderåriga kan göra det lättare att beräkna matrisdeterminant. Behöver sönderfalla matrisdeterminant längs någon linje och sedan determinant kommer att vara lika med summan av alla element i denna rad och deras minderåriga. Sönderfall matrisdeterminant 3 - dess ordning kommer att se ut så här:

Tecknet före produkten är (-1) n , där n = i + j.

Algebraiska tillägg:

Algebraisk tillägg element a ij kallas dess mindre, taget med ett "+"-tecken om summan (i + j) är ett jämnt tal, och med ett "-"-tecken om denna summa är ett udda tal. Betecknas A ij . A ij \u003d (-1) i + j × M ij.

Då kan vi omformulera ovanstående egenskap. Matrisdeterminantär lika med summan av produkten av elementen i en viss rad (rad eller kolumn) matriser till sina respektive algebraiska tillägg. Exempel:

4. Invers matris och dess beräkning.

Låt A vara en kvadrat matris n:e ordningen.

Fyrkant matris A kallas icke-degenererad if matrisdeterminant(Δ = det A) är inte lika med noll (Δ = det A ≠ 0). Annars (Δ = 0) matris Det kallas degenererat.

Matris, allierad med matris Ah, det heter matris

Där A ij - algebraisk addition element a ij given matriser(det definieras på samma sätt som algebraisk addition element matrisdeterminant).

Matris A -1 kallas invers matris A, om villkoret är uppfyllt: A × A -1 \u003d A -1 × A \u003d E, där E är en singel matris samma ordning som matris MEN. Matris A -1 har samma mått som matris MEN.

invers matris

Om det finns fyrkantiga matriser X och A som uppfyller villkoret: X × A \u003d A × X \u003d E, där E är enheten matris samma ordning alltså matris X kallas invers matris till matrisen A och betecknas med A-1. Alla icke-degenererade matris Det har invers matris och dessutom endast en, d.v.s. för att kvadrera matris A hade invers matris, är det nödvändigt och tillräckligt att det determinant var annorlunda än noll.

Att motta invers matris använd formeln:

Där M ji är valfritt mindre element a ji matriser MEN.

5. Matrisrankning. Beräkning av rangen med hjälp av elementära transformationer.

Betrakta en rektangulär matris mxn. Låt oss peka ut några k rader och k kolumner i denna matris, 1 £ k £ min (m, n) . Från elementen i skärningspunkten mellan de valda raderna och kolumnerna kommer vi att komponera determinanten för den k:te ordningen. Alla sådana bestämningsfaktorer kallas matrix minors. Till exempel, för en matris, kan du komponera andra ordningens minderåriga och första ordningens minderåriga 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Definition. Rangen på en matris är den högsta ordningen av den moll som inte är noll i denna matris. Ange rangordningen för matrisen r (A).

I exemplet ovan är rangordningen för matrisen två, eftersom till exempel den minderåriga

Rangen på en matris beräknas bekvämt med metoden för elementära transformationer. De elementära transformationerna inkluderar följande:

1) permutationer av rader (kolumner);

2) multiplicera en rad (kolumn) med ett tal som inte är noll;

3) lägga till elementen i en rad (kolumn) motsvarande element i en annan rad (kolumn), tidigare multiplicerat med ett visst tal.

Dessa transformationer ändrar inte matrisens rangordning, eftersom det är känt att 1) när raderna permuteras ändrar determinanten tecken och, om den inte var lika med noll, så kommer den inte att göra det; 2) när determinantens rad multipliceras med ett tal som inte är lika med noll, multipliceras determinanten med detta tal; 3) den tredje elementära transformationen ändrar inte determinanten alls. Sålunda, genom att utföra elementära transformationer på en matris, kan man få en matris för vilken det är lätt att beräkna rangen för den och, följaktligen, för den ursprungliga matrisen.

Definition. En matris erhållen från en matris med hjälp av elementära transformationer kallas ekvivalent och betecknas MEN PÅ.

Sats. Rangen för en matris ändras inte under elementära matristransformationer.

Med hjälp av elementära transformationer kan man föra matrisen till den så kallade stegformen, när beräkningen av dess rang inte är svår.

Matris kallas stegad om den har formen:

Uppenbarligen är stegmatrisens rangordning lika med antalet rader som inte är noll , därför att det finns en moll av ordningen, inte lika med noll:

Exempel. Bestäm rangen för en matris med hjälp av elementära transformationer.

Rangen på en matris är lika med antalet rader som inte är noll, dvs. .

Mindre M ij element aij determinant n ordningsdeterminant kallas ( n-1 ) erhålls från den givna determinanten genom att ta bort raden och kolumnen som innehåller detta element ( i -th rad och j -th kolumn).

Algebraisk tillägg element aij ges av:

Ordningsdeterminanter n>3 beräknas med hjälp av satsen om expansionen av determinanten med elementen i en rad eller kolumn:

Sats. Determinanten är lika med summan av produkterna av elementen i valfri rad eller kolumn och de algebraiska komplementen som motsvarar dessa element, dvs.

Exempel.

Beräkna determinanten genom att expandera den över elementen i en rad eller kolumn:

Beslut

1. Om det bara finns ett element som inte är noll i en rad eller en kolumn, behöver du inte konvertera determinanten. Annars, innan vi tillämpar satsen om expansionen av determinanten, transformerar vi den med hjälp av följande egenskap: om vi adderar motsvarande element i en annan rad (kolumn) multiplicerat med en godtycklig faktor till elementen i en rad (kolumn), då värdet på determinanten kommer inte att ändras.

Subtrahera de motsvarande elementen på linje 2 från elementen på linje 3 .

Från elementen i kolumn 4 subtrahera motsvarande element i kolumn 3, multiplicerat med 2.

Expandera determinanten med elementen i den tredje raden

2. Den resulterande 3:e ordningens determinanten kan beräknas med hjälp av trianglarregeln eller Sarrusregeln (se ovan). Elementen i determinanten är dock ganska stora tal, så låt oss utöka determinanten genom att först transformera den:

Från elementen i den andra raden subtraherar du motsvarande element i den första raden, multiplicerat med 3.

Subtrahera motsvarande element i den tredje raden från elementen i den första raden.

Till elementen i linje 1 lägger vi till motsvarande element i linje 2

Nullradsdeterminanten är 0.

Alltså ordningens bestämningsfaktorer n>3 beräknad:

transformation av determinanten till en triangulär form med användning av egenskaperna hos determinanter;

Nedbrytning av determinanten av element i en term eller kolumn, vilket sänker dess ordning.

Matrix rang.

Rangen på en matris är en viktig numerisk egenskap. Det mest typiska problemet som kräver att man ska hitta rangordningen för en matris är att kontrollera kompatibiliteten hos ett system med linjära algebraiska ekvationer.

Låt oss ta en matris MEN beställa sid x n . Låt vara k - något naturligt tal som inte överstiger det minsta av talen sid och n , dvs.

Mindre k-te order matriser MEN kallas determinanten för kvadratmatrisen av ordning k x k , sammansatt av element i matrisen MEN , som är förvalda k linjer och k kolumner och arrangemanget av matriselement MEN är sparad.

Tänk på matrisen:

Låt oss skriva ner flera första ordningens minderåriga av denna matris. Till exempel, om vi väljer den tredje raden och den andra kolumnen i matrisen MEN , då motsvarar vårt val den första ordningens moll det(-4)=-4. Med andra ord, för att erhålla denna mindre, strök vi över den första och andra raden, såväl som den första, tredje och fjärde kolumnen från matrisen MEN , och determinanten gjordes från det återstående elementet.

Således är de första ordningens mindre i en matris själva matriselementen.

Låt oss visa flera minderåriga av andra ordningen. Välj två rader och två kolumner. Ta till exempel den första och andra raden och den tredje och fjärde kolumnen. Med detta val har vi en andra ordningens minderårig
.

Ytterligare en andra ordningens moll i matrisen MENär minderårig

Tredje ordningens minderåriga i matrisen kan hittas på liknande sätt MEN . Sedan i matrisen MEN bara tre rader, välj sedan alla. Om vi väljer de tre första kolumnerna för dessa rader får vi en tredje ordningens mindre:

En annan minderårig tredje ordningen är:

För en given matris MEN Det finns inga minderåriga av ordning högre än tre, sedan

Hur många minderåriga finns det k -Wow matrisordning MEN beställa sid x n ? Inte så mycket!

Antal order minderåriga k kan beräknas med formeln:

Matrix rangär den högsta ordningen av en matrismoll annan än noll.

Matrix rang MEN betecknas som ringde(A). Från definitionerna av rangordningen för en matris och den mindre av en matris kan vi dra slutsatsen att rangordningen för en nollmatris är lika med noll, och rangordningen för en matris som inte är noll är minst en.

Så den första metoden för att hitta rangordningen för en matris är mindre uppräkningsmetod . Denna metod är baserad på att bestämma matrisens rangordning.

Anta att vi behöver hitta rangordningen för en matris MEN beställa sid x n .

Om det finns minst ett matriselement som inte är noll, är matrisens rangordning minst lika med ett (eftersom det finns en första ordningens moll som inte är lika med noll).

Därefter itererar vi över minderåriga i den andra ordningen. Om alla andra ordningens minderåriga är lika med noll, är matrisens rangordning lika med ett. Om det finns minst en andra ordningens mindreårig som inte är noll, går vi vidare till uppräkningen av minderåriga av tredje ordningen, och matrisens rang är minst lika med två.

På liknande sätt, om alla minderåriga av tredje ordningen är noll, är matrisens rangordning två. Om det finns minst en tredje ordningens mindreårig som inte är noll, är matrisens rankning minst tre, och vi fortsätter till uppräkningen av mindreåriga av fjärde ordningen.

Observera att rangordningen för en matris inte kan överstiga det minsta av talen sid och n .

Exempel.

Hitta rangordningen för en matris
.

Beslut.

1. Eftersom matrisen inte är noll är dess rangordning inte mindre än ett.

2. En av de minderåriga i andra ordningen
skiljer sig från noll, därför rangordnas matrisen MEN åtminstone två.

3. Minderåriga av tredje ordningen

Alla minderåriga av tredje ordningen är lika med noll. Därför är rangen på matrisen två.

rang(A) = 2.

Det finns andra metoder för att hitta rangordningen för en matris som gör att du kan få resultatet med mindre beräkningsarbete.

En av dessa metoder är fringing minor metod . När man använder denna metod reduceras beräkningarna något, och ändå är de ganska besvärliga.

Det finns ett annat sätt att hitta rangordningen för en matris - med hjälp av elementära transformationer (Gauss-metoden).

Följande matristransformationer kallas elementärt :

byta rader (eller kolumner) i matrisen;

multiplikation av alla element i valfri rad (kolumn) i en matris med ett godtyckligt tal k, skiljer sig från noll;

tillägg till elementen i valfri rad (kolumn) av motsvarande element i en annan rad (kolumn) i matrisen, multiplicerat med ett godtyckligt tal k.

Matris B kallas ekvivalent med matris A, om PÅ härrörande från MEN med hjälp av ett ändligt antal elementära transformationer. Matrisernas ekvivalens betecknas med symbolen « ~ » , det vill säga skrivet A~B.

Att hitta rangordningen för en matris med hjälp av elementära matristransformationer baseras på påståendet: om matrisen PÅ erhålls från matrisen MEN genom att använda ett ändligt antal elementära transformationer, alltså r ang(A) = rang(B) , dvs. rangorden för de ekvivalenta matriserna är .

Kärnan i metoden för elementära transformationer är att föra matrisen, vars rangordning vi behöver hitta, till en trapets (i ett särskilt fall till en övre triangulär) med hjälp av elementära transformationer.

Rangen på matriser av detta slag är mycket lätt att hitta. Det är lika med antalet rader som innehåller minst ett element som inte är null. Och eftersom matrisens rangordning inte ändras under elementära transformationer, kommer det resulterande värdet att vara rangordningen för den ursprungliga matrisen.

Exempel.

Använd metoden för elementära transformationer, hitta rangordningen för matrisen

Beslut.

1. Byt ut den första och andra raden i matrisen MEN , eftersom elementet a 11 = 0, och elementet en 21 skiljer sig från noll:

I den resulterande matrisen är elementet lika med ett. Annars var det nödvändigt att multiplicera elementen i den första raden med . Låt oss göra alla element i den första kolumnen, förutom den första, noll. Den andra raden har redan noll, till den tredje raden lägger vi till den första, multiplicerad med 2:

Elementet i den resulterande matrisen är inte noll. Multiplicera elementen i den andra raden med

Den andra kolumnen i den resulterande matrisen har den önskade formen, eftersom elementet redan är lika med noll.

Som , a , växla sedan den tredje och fjärde kolumnen och multiplicera den tredje raden i den resulterande matrisen med :

Den ursprungliga matrisen reduceras till en trapets, dess rang är lika med antalet rader som innehåller minst ett element som inte är noll. Det finns tre sådana rader, så rangordningen för den ursprungliga matrisen är tre. r ang(A)=3.

Invers matris.

Låt oss ha en matris MEN .

Matris invers mot matris A , kallas matrisen A-1 Så att A -1 A = A A -1 = E .

En invers matris kan bara existera för en kvadratisk matris. Dessutom är den i sig av samma dimension som den ursprungliga matrisen.

För att en kvadratisk matris ska ha en invers måste den vara ickesingular (dvs. Δ ≠0 ). Detta villkor är också tillräckligt för existensen A-1 till matrisen MEN . Så varje icke-singular matris har en invers och dessutom en unik.

Algoritm för att hitta den inversa matrisen med hjälp av exemplet på en matris MEN :

1. Hitta matrisdeterminanten. Om en Δ ≠0 , sedan matrisen A-1 existera.

2. Komponera matrisen B av algebraiska komplement till elementen i den ursprungliga matrisen MEN . De där. i matrisen PÅ element i - åh linje och j -th kolumnen kommer att vara det algebraiska komplementet A ij element aij originalmatris.

3. Transponera matrisen PÅ och få B t .

4. Hitta den inversa matrisen genom att multiplicera den resulterande matrisen B t per nummer .

Exempel.

För en given matris, hitta inversen och kontrollera:

Beslut

Vi använder den tidigare beskrivna algoritmen för att hitta den inversa matrisen.

1. För att ta reda på förekomsten av en invers matris är det nödvändigt att beräkna determinanten för denna matris. Låt oss använda trianglarregeln:

Matrisen är icke-degenererad, därför är den inverterbar.

Hitta de algebraiska komplementen för alla element i matrisen:

Från de hittade algebraiska komplementen kompileras en matris:

och införlivats

Genom att dividera varje element i den resulterande matrisen med determinanten får vi en matris invers mot den ursprungliga:

Kontrollen utförs genom att multiplicera den resulterande matrisen med den ursprungliga. Om den inversa matrisen hittas korrekt, blir resultatet av multiplikationen identitetsmatrisen.

För att hitta den inversa matrisen för en given matris kan du använda den Gaussiska metoden (naturligtvis måste du först se till att matrisen är inverterbar), vars övervägande jag lämnar för självständigt arbete.

Uppgift 1.

För denna bestämningsfaktor

hitta biämnen och algebraiska komplement till element α 12 , α 32 . Beräkna determinant : a) sönderdela den i element i den första raden och den andra kolumnen; b) att tidigare ha mottagit nollor på den första raden.

Vi hittar:

M12 =
= –8–16+6+12+4–16 = –18,

M 32 =
= –12+12–12–8 = –20.

De algebraiska komplementen av elementen a 12 respektive a 32 är:

A 12 \u003d (-1) 1 + 2 M 12 \u003d - (-18) \u003d 18,

A 32 \u003d (-1) 3 + 2 M 32 \u003d - (-20) \u003d 20.

a) Beräkna determinanten genom att expandera den över elementen i den första raden:

A 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 + a 14 A 14 = -3
–2 +

1
= – 3(8 + 2 + 4 – 4) – 2(– 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16) + (16 – 12 – – 4 + 32) = 38;

Låt oss utöka determinanten med elementen i den andra kolumnen:

= – 2 – 2
+ 1
= – 2(– 8 + 6 – 16 + + 12 + 4 – 16) – 2(12 + 6 – 6 – 16) + (– 6 + 16 – 12 – 4) = 38;

b) Beräkna , efter att tidigare ha fått nollor i första raden. Vi använder motsvarande egenskap hos determinanter. Multiplicera den tredje kolumnen av determinanten med 3 och lägg till den första, multiplicera sedan med -2 och lägg till den andra. Sedan i den första raden kommer alla element, utom ett, att vara nollor. Vi expanderar determinanten som erhålls på detta sätt av elementen i den första raden och beräknar den:

= =
=
=
=

= – (– 56 + 18) = 38.

(I tredje ordningens determinant erhölls nollor i den första kolumnen med samma egenskap hos determinanter som ovan.) ◄

Uppgift 2.

Givet ett system av linjära icke-homogena algebraiska ekvationer

Kontrollera om detta system är kompatibelt och, om det är kompatibelt, lös det: a) med Cramers formler; b) att använda den inversa matrisen (matrismetoden); c) Gaussisk metod.

Vi kommer att kontrollera kompatibiliteten för detta system med hjälp av Kronecker-Capelli-satsen. Med hjälp av elementära transformationer hittar vi matrisens rangordning

MEN =

av detta system och rangordningen för den utökade matrisen

PÅ =

.

För att göra detta multiplicerar vi den första raden i matris B med -2 och lägger till den till den andra, sedan multiplicerar vi den första raden med -3 och lägger till den till den tredje och byter den andra och tredje kolumnen. Skaffa sig

PÅ =

~

~
.

Därför rangordna MEN= rang PÅ= 3 (dvs antalet okända). Därför är det ursprungliga systemet konsekvent och har en unik lösning.

a) Enligt Cramers formler

x= x / , y = y / , z = z/ ,

=
= – 16;

x =
= 64;

y =
= – 16;

z=
= 32,

vi hittar: x = 64/(– 16) = – 4, y = – 16/(– 16) = 1, z = 32/(– 16)= – 2;

b) För att hitta en lösning på systemet med hjälp av den inversa matrisen skriver vi ekvationssystemet i matrisform AH = . Systemets lösning i matrisform har formen x = A –1 . Med hjälp av formeln hittar vi den inversa matrisen MEN –1 (det finns eftersom = det A = – 16 ≠ 0):

A 11 =
= – 15, A 21 = –
= 16, A 31 =
= – 11,

A 12 = –
= – 3, A 22 =
= 0, A 32 = –
= 1,

A 13 =
= – 14, A 23 = –
= 16, A 33 =
= – 6,

A –1 =

.

Systemlösning:

X = =
=
=

Så, x = –4, y = 1, z = –2;

c) Vi löser systemet med Gauss-metoden. Utesluta x från andra och tredje ekvationerna. För att göra detta, multiplicera den första ekvationen med 2 och subtrahera från den andra, multiplicera sedan den första ekvationen med 3 och subtrahera från den tredje:

Från det resulterande systemet finner vi x = – 4, y = 1, z = –2. ◄

Uppgift 5.

Pyramidens hörn är vid punkterna A(2; 3; 4), B(4; 7; 3), C(1; 2; 2) och D(-2; 0; -1). Beräkna: a) ansiktsyta ABC; b) området av sektionen som passerar genom mitten av revbenen AB, AC, AD; c) pyramidens volym ABCD.

A) Det är känt att S ABC =
. Vi hittar:
= (2; 4; – 1) ,

= (– 1; – 1; – 2) ,

=
= – 9 i + 5 j + 2 k.

Äntligen har vi:

S ABC =
=
;

b) Mitten av revbenen AB, Sol och MENDär på punkterna K (3; 5; 3,5),

M (1,5; 2,5; 3),N (0; 1,5; 1,5) . Nästa har vi:

S sech =
,
= (– 1,5; – 2,5; – 0,5),
= (– 3; – 3,5; – 2),

=
= 3,25i - 1,5j - 2,25k,

S sech =
=
;

c) Eftersom V fest =
,
= (– 4; – 3; – 5),

=
= 11, sedan V = 11/6 . ◄

Uppgift 6

Tvinga F = (2; 3;– 5) fäst vid en punkt A(1; - 2; 2). Beräkna: a) styrkans arbete F i det fall när punkten för dess applicering, som rör sig rätlinjigt, flyttas från positionen MEN på plats B(1; 4; 0); b) kraftmomentets modul F i förhållande till punkten PÅ.

A) därför att A =F · s , s =
= (0; 6; – 2) ,

sedan F = 2 0 + 3 6 + (– 5) (– 2) = 28; A = 28;

b) Kraftmoment M =
,
= (0; – 6; 2) ,

=
= 24 i + 4 j + 12 k .

Därav, =
= 4
. ◄

Uppgift 8.

Toppar kända O(0; 0),A(– 2; 0) parallellogram SLAD och skärningspunkten för dess diagonaler B(2;–2). Skriv ekvationerna för parallellogrammets sidor.

sidoekvationen OA kan skrivas direkt: y = 0 . Vidare, sedan poängen PÅär diagonalens mittpunkt AD(Fig. 1), sedan med hjälp av formlerna för att dela segmentet på mitten, kan du beräkna koordinaterna för vertex D(x; y) :

2 =
, –2 =
,

var x = 6 , y = –4 .

Nu kan du hitta ekvationerna för alla andra sidor. Med tanke på sidornas parallellitet OA och CD, komponera ekvationen för sidan CD: y = –4 . sidoekvationen ODär sammanställd från två kända punkter:

=
,

var y = – x, 2 x + 3 y = 0 .

Slutligen hittar vi sidoekvationen AC, med tanke på att den passerar genom en känd punkt A (-2; 0) parallellt med en känd linje OD:

y – 0 = – (x + 2) eller 2 x + 3 y + 4 = 0 . ◄

Uppgift 9.

Givet hörn i en triangel ABC: A(4; 3), B(– 3; – 3), C(2; 7) . Att hitta:

a) sidoekvation AB;

b) höjdekvation CH;

c) medianekvation AM;

d) punkt N mediankorsningar AM och höjd CH;

e) ekvation för en rät linje som går genom spetsen C parallellt med sidan AB;

f) avstånd från punkt C till rakt AB.

A) Använd ekvationen rät linje som går genom två punkter, får vi sidoekvationen AB:

=
,

var 6(x – 4) = 7(y – 3) eller 6 x – 7 y – 3 = 0 ;

b) Enligt ekvationen

y = kx + b (k = tg α ) ,

lutning av rät linje AB k 1 =6/7 . Med tanke på vinkelräta förhållanden AB och CH höjd lutning CH k 2 = –7/6 (k 1∙ k 2 = –1). Per punkt C(2; 7) och vinkelkoefficient k 2 = –7/6 skriv höjdekvationen CH: (y – y 0 = k(x – x 0 ) )

y – 7 = – (x – 2) eller 7 x + 6 y – 56 = 0 ;

c) Enligt kända formler hittar vi koordinaterna x, y mitten M segmentet före Kristus:

x = (– 3 + 2)/2 = –1/2, y = (– 3 + 7)/2 = 2.

Nu till två kända punkter A och M skriv medianekvationen AM:

=
eller 2 x – 9 y + 19 = 0 ;

d) Att hitta koordinaterna för en punkt N mediankorsningar AM och höjd CH komponera ett ekvationssystem

Att lösa det får vi N (26/5; 49/15) ;

e) Eftersom linjen går genom spetsen C, parallellt med sidan AB, då är deras backar k 1 =6/7 . Sedan, enligt ekvationen:

y – y 0 = k(x – x 0 ) , efter punkt C och vinkelkoefficient k 1 komponera ekvationerna för en rät linje CD:

y – 7 = (x – 2) eller 6 x – 7 y + 37 = 0 ;

f) Avstånd från punkt C till rakt AB beräknas enligt den välkända formeln:

d = | CH| =

Lösningen av detta problem illustreras i fig. 2◄

Uppgift 10.

Givet fyra poäng A 1 (4; 7; 8), A 2 (– 1; 13; 0), A 3 (2; 4; 9), A 4 (1; 8; 9) . Skriv ekvationer:

a) flygplan A 1 A 2 A 3 ; b) rakt A 1 A 2 ;

c) rakt A 4 M, vinkelrätt mot planet A 1 A 2 A 3 ;

d) rakt A 4 N, parallellt med linjen A 1 A 2 .

Beräkna:

e) sinus för vinkeln mellan linjen A 1 A 4 och flygplan A 1 A 2 A 3 ;

f) cosinus för vinkeln mellan koordinatplanet Oxy och flygplan MEN 1 MEN 2 MEN 3 .

A) Använd formeln trepunktsplanekvationer, komponera ekvationen för planet MEN 1 MEN 2 MEN 3 :

var 6x - 7y - 9z + 97 = 0;

b) Övervägande ekvation av en rät linje som går genom två punkter, den räta linjens ekvationer MEN 1 MEN 2 kan skrivas i formen

=
=
;

c) Från vinkelräta förhållanden MEN 4 M och flygplan MEN 1 MEN 2 MEN 3 det följer att som en riktningsvektor, linjen s du kan ta en normal vektor n = (6; – 7; – 9) plan MEN 1 MEN 2 MEN 3 . Sedan linjens ekvation MEN 4 M med att överväga kanonisk den räta linjens ekvationer kommer att skrivas i formen

=
=
;

d) Sedan raden A 4 N parallellt med en rät linje MEN 1 MEN 2 , sedan deras riktningsvektorer s 1 och s 2 kan betraktas som matchande: s 1 =s 2 = (5; – 6; 8) . Därför linjens ekvation A 4 N har formen

=
=
;

e) Genom att hitta formeln vinkeln mellan linjen och planet

synd φ =

f) I enlighet med formeln för att hitta vinkelvärden mellan plan

för phi =
=
◄

Uppgift 11.

Skriv en ekvation för ett plan som passerar genom punkterna M(4; 3; 1) och

N(– 2; 0; – 1) parallellt med linjen genom punkterna A(1; 1; – 1) och

B(– 3; 1; 0).

Enligt formeln ekvationer för en rät linje i rymden passerar genom två punkter, ekvationen för en rät linje AB har formen

=
=
.

Om planet passerar genom en punkt M(4; 3; 1) , då kan dess ekvation skrivas som A(x – 4) + B(y – 3) + C(z – 1) = 0 . Eftersom detta plan också passerar genom punkten N(– 2; 0; – 1) , sedan tillståndet

A(-2-4) + B(0-3) + C(-1-1) = 0 eller 6A + 3B + 2C = 0.

Eftersom det önskade planet är parallellt med den hittade linjen AB och sedan ta hänsyn till formlerna parallellitetsvillkor för en linje och ett plan vi har:

–4A + OB + IC = 0 eller 4A-C=0.

Att lösa systemet

det finner vi C = 4 A, B = – A. Ersätt de erhållna värdena Med och B in i ekvationen för det önskade planet, vi har

A(x - 4) - A(y - 3) + 4A(z - 1) = 0.

Som A ≠ 0 , då den resulterande ekvationen är ekvivalent med ekvationen

3(x - 4) - 14(y - 3) + 12(z - 1) = 0. ◄

Uppgift 12.

Hitta koordinater x 2 , y 2 , z 2 poäng M 2 , symmetrisk punkt M 1 (6; – 4; – 2) i förhållande till planet x + y + z – 3 = 0 .

Låt oss skriva de parametriska ekvationerna för den räta linjen M 1 M 2 , vinkelrätt mot det givna planet: x = 6 + t, y = – 4 + t, z = – 2 + t. Att lösa dem tillsammans med ekvationen för det givna planet, finner vi t = 1 och därav poängen M linjekorsning M 1 M 2 med detta plan: M (7; – 3; – 1) . Sedan poängen Mär segmentets mittpunkt M 1 M 2 , då är jämlikheter sanna.; c) en parabel med riktning b

Element i linjär algebra Detta avsnitt innehåller huvudtyperna av problem som behandlas i ämnet "Linjär algebra": beräkning av determinanter, åtgärder n

Dokumentera

Kvadratisk matris att hitta a) mindre element; b) algebraisk tillägg element; i) ... att hitta a) mindre element; b) algebraisk tillägg element; c) dess determinant, som tidigare har fått nollor i den första raden. Lösning a) Mindre element ...

jag. element av linjär algebra och analytisk geometri

Dokumentera

... element matriser." Definition. Algebraisk tillägg element aik av matris A kallas mindre Mic av denna matris multiplicerat med (-1)u+k: Algebraisk tillägg element... metod. Exempel 1. En matris ges Att hitta det A. Lösning. Låt oss förvandla...

Lösning: när du lägger till två matriser till varje element i den första matrisen, måste du lägga till ett element i den andra matrisen

Beslut

Gå kolumn; kallad mindre element. Då anses det per definition (1) - algebraisk tillägg element, sedan (2) ... Linjära operationer på matriser Problem. Att hitta summan av matriser och och produkten ... är gemensam, då krävs det att hitta dess allmänna lösning. ...

Riktlinjer för genomförandet av extracurricular självständigt arbete av studenten Disciplin "Matematik" för specialitet

Riktlinjer

En sådan determinant kallas mindre element aij. Betecknad mindre– Mij. Exempel: Att hitta mindre element a12 determinant För ... en lägre och mindreär lika med: Algebraisk tillägg element determinant kallas det mindre tagen med sin...