Практично будь-яку періодичну функцію можна розкласти на прості гармоніки за допомогою тригонометричного ряду (ряду Фур'є):
f(x) = + (a n cos nx + b n sin nx), (*)
Запишемо даний ряд у вигляді суми простих гармонік, вважаючи коефіцієнти рівними a n= A n sin j n, b n= A n cos j n. отримаємо: a n cos j n + b n sin j n = A n sin ( nx+ j n), Де
A n=, Tg j n = . (**)
Тоді ряд (*) у вигляді простих гармонік набуде вигляду f(x) = 
.
Ряд Фур'є представляє періодичну функцію сумою хоча і нескінченного числа синусоїд, але з частотами, що мають певне дискретне значення.
іноді n-у гармоніку записують у вигляді a n cos nx + b n sin nx = A n cos ( nx – j n), Де a n= A n cos j n , b n= A n sin j n .
При цьому A nі j nвизначаються за формулами (**). Тоді ряд (*) набуде вигляду
f(x) = 
.
визначення 9. Операція подання періодичної функції f(x) Поруч Фур'є називається гармонійним аналізом.
Вираз (*) зустрічається і в інший, більш вживаною формою:
коефіцієнти a n, b nвизначаються за формулами:
величина C 0 висловлює середнє значення функції за період і називається постійної складової, яка обчислюється за формулою:
В теорії коливань і спектрального аналізу представлення функції f(t) В ряд Фур'є записується у вигляді:
(***)
тобто періодична функція представлена сумою доданків, кожне з яких є синусоїдальне коливання з амплітудою З nі початковою фазою j n, Тобто ряд Фур'є періодичної функції складається з окремих гармонік з частотами, що відрізняються один від одного на постійне число. Причому кожна гармоніка має певну амплітуду. значення З nі j nповинні бути належним чином підібрані для того, щоб рівність (***) виконувалося, тобто визначаються за формулами (**) [ З n = А n].
Перепишемо ряд Фур'є (***) у вигляді 
де w 1 - основна частота. Звідси можна зробити висновок: складна періодична функція f(t) Визначається сукупністю величин З nі j n .
визначення 10. сукупність величин З n, Тобто залежність амплітуди від частоти, називається амплітудним спектром функціїабо спектром амплітуд.
Визначення 11.сукупність величин j nносить назву спектра фаз.
Коли говорять просто "спектр", то мають на увазі саме амплітудний спектр, в інших випадках роблять відповідні застереження. Періодична функція має дискретний спектр(Тобто вона може бути представлена у вигляді окремих гармонік).
Спектр періодичної функції можна зобразити графічно. Виберемо для цього координати З nі w = nw 1. Спектр буде зображений в цій системі координат сукупністю дискретних точок, тому що кожному значенню nw 1 відповідає одне певне значення З n.Графік, що складається з окремих точок, незручний. Тому прийнято зображати амплітуди окремих гармонік вертикальними відрізками відповідної довжини (рис. 2).
Мал. 2.
Цей дискретний спектр часто називають лінійчатим. Він - гармонійний спектр, тобто складається з рівновіддалених спектральних ліній; частоти гармонік знаходяться в простих кратних співвідношеннях. Окремі гармоніки, в тому числі перша, можуть бути відсутніми, тобто амплітуди їх можуть дорівнювати нулю, але це не порушує гармонійності спектра.
Дискретні, або лінійчатих, спектри можуть належати як періодичним, так і неперіодичних функцій. У першому випадку спектр обов'язково гармонійний.
Розкладання в ряд Фур'є може бути узагальнене на випадок неперіодичної функції. Для цього треба застосувати граничний перехід при Т®∞, розглядаючи неперіодичних функцію як граничний випадок періодичної при необмежено зростаючому періоді. Замість 1 / Твведемо кругову основну частоту w 1 = 2p / Т. Ця величина - є частотний інтервал між сусідніми гармоніками, частоти яких дорівнюють 2p n/Т. якщо Т® ∞, то w 1 ® dwі 2p n/Т® w, де w- поточна частота, змінюється безперервно, dw- її приріст. При цьому ряд Фур'є перейде в інтеграл Фур'є, який являє собою розкладання неперіодичної функції в нескінченному інтервалі (-∞; ∞) на гармонійні коливання, частоти яких wбезперервно змінюються від 0 до ∞:
Неперіодичних функція має безперервний або суцільний спектри, тобто замість окремих точок спектр зображується безперервної кривої. Це виходить в результаті граничного переходу від ряду до інтеграла Фур'є: інтервали між окремими спектральними лініями необмежено скорочуються, лінії зливаються, і замість дискретних точок спектр зображується безперервної послідовністю точок, тобто безперервної кривої. функції a(w) і b(w) Дають закон розподілу амплітуд і початкових фаз в залежності від частоти w.
Перетворення Фур'є є найбільш широко використовуваний засіб перетворити довільну функцію від часу в набір її частотних складових на площині комплексних чисел. Це перетворення може бути застосовано для апериодических функцій для визначення їх спектрів, і в цьому випадку комплексний оператор s може бути замінений на / з:
З метою визначення найбільш цікавих частот може бути використано чисельне інтегрування на комплексній площині.
Для ознайомлення з основами поведінки цих інтегралів розглянемо кілька прикладів. На Рис. 14.6 (зліва) наведено імпульс одиничної площі в тимчасовій області і його спектральний склад; в центрі - імпульс такої ж площі, але більшої амплітуди, а праворуч - амплітуда імпульсу нескінченна, проте його площа як і раніше дорівнює одиниці. Права картинка особливо цікава тим, що спектр імпульсу нульової довжини містить всі частоти з рівними амплітудами.
Мал. 14.6. Спектри імпул'совразной ширини, за однаковою пяошрді
У 1822 р французький математікЖ. Б. Ж. Фур'є (JBJ Fourier) показав у своїй роботі, присвяченій питанням теплопровідності, що будь-яка періодична функція може бути розкладена на вихідні компоненти, що включають частоту повторення і набір гармонік цієї частоти, причому кожна з гармонік має свою амплітуду і фазу по відношенню до частоті повторення. Основні формули, що використовуються при Фур'є-перетворення, такі:
де A () являє собою компоненту постійного струму, а А п і В п - гармоніки основної частоти порядку і, що знаходяться відповідно в фазі і протифазі з нею. Функція / (*), таким чином, є сумою цих гармонік і Ло
У випадках, коли f (x) симетрична щодо тс / 2, т. E. f (x) на області від л до 2 л = -f (x) на області від 0 до л, і відсутня компонента постійного струму, формули Фур'є-перетворення спрощуються до:
де n = 1, 3,5, 7 ...
Все гармоніки є синусоїдами, тільки частина з них знаходиться в фазі, а частина - в протифазі з основною частотою. Більшість форм сигналів, що зустрічаються в силовій електроніці, можуть бути розкладені на гармоніки цим зразком.
Якщо перетворення Фур'є застосувати до прямокутним імпульсам тривалістю 120 °, то гармоніки становитимуть набір порядку k = бі ± 1, де n - одне з цілих чисел. Амплітуда кожної гармоніки h по відношенню до першої пов'язана з її номером співвідношенням h = l // e. При цьому перша гармоніка матиме амплітуду, в 1.1 рази більшу, ніж амплітуда прямокутного сигналу.
Перетворення Фур'є видає амплітудне значення для кожної гармоніки, але, так як всі вони є синусоїдальними, середньоквадратичне значення вийде просто розподілом відповідної амплітуди на корінь з 2. Середньоквадратичне значення складного сигналу являє собою корінь квадратний з суми квадратів середньоквадратичних значень кожної гармоніки, включаючи першу.
При роботі з повторюваними імпульсними функціями корисно розглянути робочий цикл. Якщо повторювані імпульси на Рис. 14.7 мають середньоквадратичне значення X за час А, то середньоквадратичне значення за час У дорівнюватиме X (A / B) 1 '2. Таким чином, середньоквадратичне значення повторюваних імпульсів пропорційно кореню квадратному з значення робочого циклу. Застосувавши цей принцип до прямокутним імпульсамдлітельностью 120 ° (робочий цикл 2/3) з одиничною амплітудою, отримаємо середньоквадратичне значення (2/3) 1/2 = 0.8165.
Мал. 14.7. Визначення середньоквадратичного значення (RMS) для повторюваних
імпульсів
Цікаво перевірити цей результат шляхом підсумовування гармонік, відповідних згаданої послідовності прямокутних імпульсів. У Табл. 14.2 наведені результати цього підсумовування. Як видно, все збігається.
Таблиця 14.2. Результати підсумовування гармонік, відповідних
періодичному сигналу з робочим циклом 2/3 і одиничною амплітудою
|
номер гармоніки |
амплітуда гармоніки |
Сумарне середньоквадратичне значення |
Для цілей порівняння можна згрупувати будь-який набір гармонік і визначити відповідний загальний рівень гармонійних спотворень. Середньоквадратичне значення сигналу при цьому визначається за формулою
де h \ - амплітуда першої (основної) гармоніки, а h "- амплітуда гармонік порядку n> 1.
Компоненти, відповідальні за перекручування, можуть бути записані окремо як
де n> 1. Тоді
де Fund - перша гармоніка, а коефіцієнт нелінійних спотворень (THD) вийде рівним D / Fund.
Хоча аналіз прямокутної послідовності імпульсів вельми цікавий, він рідко застосовується в реальному світі. Комутаційні ефекти і інші процеси роблять прямокутні імпульси більше схожими на трапецеїдальні, або, у випадку з перетворювачами, з переднім фронтом, описуваних вираженням 1 cos (0) і заднім фронтом, описуваних залежністю cos (0), де 0< 0 логарифмическим масштабом нахил відповідних ділянок цього графіка становить -2 і -1.Для систем з типовими значеннями реактанс зміна нахилу приблизно припадає на частоти від 11-ї до 35-ї гармоніки мережевої частоти, причому при збільшенні реактанс або струму в системі частота зміни нахилу знижується . Практичний результат від усього цього полягає в меншій значущості вищих гармонік, ніж можна подумати. Хоча збільшення реактанс сприяє зменшенню гармонік вищих порядків, зазвичай це не реально. Більш кращим для зменшення гармонійних складових в споживаної струмі є збільшення числа імпульсів при випрямленні або перетворенні напруги, що досягається зрушенням фаз. Стосовно до трансформаторів ця тема була порушена в гл. 7. Якщо тиристорний перетворювач чи випрямляч харчується від обмоток трансформатора, з'єднаних зіркою і трикутником, а виходи перетворювача або випрямляча з'єднані послідовно або паралельно, то виходить 12-пульсаційне випрямлення. Номери гармонік в наборі тепер виходять k = \ 2n ± 1 замість k = 6і + 1, де n - одне з цілих чисел. Натомість гармонік 5-го і 7-го порядкатеперь з'являються гармоніки 11-го і 13-го порядків, амплітуда яких істотно менше. Цілком можливо застосування ще більшого числа пульсацій, і, наприклад, у великих джерелах живлення для електрохімічних установок використовуються 48-пульсації системи. Так як в великих випрямлячах і перетворювачах використовуються набори з'єднаних паралельно діодів або тиристорів, додаткова вартість фазосдвигающих обмоток в трансформаторі в основному визначає і його ціну. На Рис. 14.8 показані переваги 12-пульсаційної схеми перед 6-пульсаційної. Гармоніки 11-го і 13-го порядку в 12-пульсаційної схемою мають типове значення амплітуди, що дорівнює приблизно 10% від першої гармоніки. У схемах з великим числом пульсацій гармоніки мають порядок k = pn + 1, де p - число пульсацій. Для інтересу відзначимо, що пари наборів гармонік, які просто зрушені один щодо одного на 30 °, що не взаимоуничтожаются в 6пульсаціонной схемою. Токи цих гармонік проникають назад через трансформатор; таким чином, є потреба у додатковому зрушення фаз для отримання можливості їх взаємного знищення. Не всі гармоніки знаходяться в фазі з першої. Наприклад, в трифазному наборі гармонік, відповідному послідовності прямокутних імпульсів 120 °, фази гармонік змінюються відповідно до послідовності -5-я, + 7-я, -11-я, + 13-а і т.д. При розбалансування в трифазного ланцюга можуть виникати однофазні компоненти, що тягне за собою утраіваніе гармонік з нульовим фазовим зрушенням. Мал. 14.8. Спектри 6і 12-пульсаціоіних перетворювачів Ізолюючі трансформатори часто розглядаються як панацея від проблем з гармоніками. Ці трансформатори додають деякий реактанс в систему і тим самим сприяють зниженню рівня вищих гармонік, однак, крім придушення струмів нульової послідовності і електростатичного розв'язки, користі від них небагато. Розкладання періодичних несинусоїдних функцій загальні визначення Частина 1. Теорія лінійних ланцюгів (продовження) ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ Навчальний посібник для студентів електроенергетичних спеціальностей Т. Електричні ланцюги періодичного несинусоидального струму Як відомо, в електроенергетиці в якості стандартної форми для струмів і напруг прийнята синусоїдальна форма. Однак в реальних умовах форми кривих струмів і напруг можуть в тій чи іншій мірі відрізнятися від синусоїдальних. Спотворення форм кривих цих функцій у приймачів призводять до додаткових втрат енергії і зниження їх коефіцієнта корисної дії. Синусоидальность форми кривої напруги генератора є одним з показників якості електричної енергії як товару. Можливі наступні причини спотворення форми кривих струмів і напруг в складному ланцюгу: 1) наявність в електричному ланцюзі нелінійних елементів, параметри яких залежать від миттєвих значень струму і напруги [ R, L, C = f(u, i)], (Наприклад, випрямні пристрої, електрозварювальні агрегати і т. Д.); 2) наявність в електричному ланцюзі параметричних елементів, параметри яких змінюються в часі [ R, L, C = f(t)]; 3) джерело електричної енергії (трифазний генератор) в силу конструктивних особливостей не може забезпечити ідеальну синусоїдальну форму вихідної напруги; 4) вплив в комплексі перерахованих вище факторів. Нелінійні і параметричні ланцюга розглядаються в окремих розділах курсу ТОЕ. У цій главі досліджується поведінка лінійних електричних ланцюгів при впливі на них джерел енергії з несинусоїдної формою кривої. З курсу математики відомо, що будь-яка періодична функція часу f(t), Що задовольняє умовам Дирихле, може бути представлена гармонійним рядом Фур'є: тут А 0 - постійна складова, - k-я гармонійна складова або скорочено k-я гармоніка. 1-я гармоніка називається основний, а всі наступні - вищими. Амплітуди окремих гармонік А доне залежить від способу розкладання функції f(t) В ряд Фур'є, в той же час початкові фази окремих гармонік залежать від вибору початку відліку часу (початку координат). Окремі гармоніки ряду Фур'є можна представити у вигляді суми синусної і косинусной складових: Тоді весь ряд Фур'є отримає вигляд: Співвідношення між коефіцієнтами двох форм ряду Фур'є мають вигляд: якщо k-у гармоніку і її Синусно і косинусному складові замінити комплексними числами, то співвідношення між коефіцієнтами ряду Фур'є можна представити в комплексній формі: Якщо періодична несинусоїдальний функція часу задана (або може бути виражена) аналітично у вигляді математичного рівняння, то коефіцієнти ряду Фур'є визначаються за формулами, відомим з курсу математики: На практиці досліджувана несинусоїдальний функція f(t) Зазвичай задається у вигляді графічної діаграми (графічно) (рис. 118) або у вигляді таблиці координат точок (таблично) в інтервалі одного періоду (табл. 1). Щоб виконати гармонічний аналіз такої функції за наведеними вище рівняннями, її необхідно попередньо замінити математичним виразом. Заміна функції, заданої графічно або таблично математичним рівнянням, отримала назву апроксимації функції. Щоб перевірити, чи правильно працює програма, сформуємо масив відліків як суму двох синусоїд sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) і підсунь програмці. Програма намалювала наступне: рис.1 Графік тимчасової функції сигналу рис.2 Графік спектру сигналу На графіку спектра є дві палиці (гармоніки) 5 Гц з амплітудою 0.5 В і 10 Гц - з амплітудою 1 В, все як у формулі вихідного сигналу. Все відмінно, програміст молодець! Програма працює правильно. Це означає, що якщо ми подамо на вхід АЦП реальний сигнал із суміші двох синусоїд, то ми отримаємо аналогічний спектр, що складається з двох гармонік. Разом, наш реальнийвиміряний сигнал, тривалістю 5 сек, Оцифрований АЦП, тобто представлений дискретнимиотсчетами, має дискретний неперіодичнаспектр. Щось як би не те! Гармоніка 10 Гц малюється нормально, а замість палиці на 5 Гц з'явилося кілька якихось незрозумілих гармонік. Дивимося в інтернетах, що й до чого ... Во, кажуть, що в кінець вибірки треба додати нулі і спектр буде малюватися нормальний. рис.5 Добили нулів до 5 сек рис.6 Отримали спектр Все одно не те, що було на 5 секундах. Доведеться розбиратися з теорією. йдемо в Вікіпедію- джерело знань. K - номер тригонометричної функції (номер гармонійної складової, номер гармоніки) Що значить «уявити функцію у вигляді суми ряду»? Це означає, що, склавши в кожній точці значення гармонійних складових ряду Фур'є, ми отримаємо значення нашої функції в цій точці. (Більш строго, середньоквадратичне відхилення ряду від функції f (x) буде прагнути до нуля, але не дивлячись на середньоквадратичнепомилку збіжність, ряд Фур'є функції, взагалі кажучи, не зобов'язаний сходитися до неї поточечно. Див. Https://ru.wikipedia.org/ wiki / Ряд_Фурье.) Цей ряд може бути також записаний у вигляді: (2), Зв'язок між коефіцієнтами (1) і (3) виражається наступними формулами: Відзначимо, що всі ці три представлення низки Фур'є абсолютно рівнозначні. Іноді при роботі з рядами Фур'є буває зручніше використовувати замість синусів і косинусів експоненти уявного аргументу, тобто використовувати перетворення Фур'є в комплексній формі. Але нам зручно використовувати формулу (1), де ряд Фур'є представлений у вигляді суми косинусоид з відповідними амплітудами і фазами. У будь-якому випадку неправильно говорити, що результатом перетворення Фур'є дійсного сигналу будуть комплексні амплітуди гармонік. Як правильно говориться в Вікі «Перетворення Фур'є (?) - операція, що зіставляє однієї функції дійсної змінної іншу функцію, також дійсної змінної.» Разом: Перетворення Фур'є дозволяє уявити безперервну функцію f (x) (сигнал), визначену на відрізку (0, T) у вигляді суми нескінченного числа (нескінченного ряду) тригонометричних функцій (синусоїд і \ або косинусоид) з певними амплітудами і фазами, також розглядаються на відрізку (0, T). Такий ряд називається рядом Фур'є. Відзначимо ще деякі моменти, розуміння яких потрібно для правильного застосування перетворення Фур'є до аналізу сигналів. Якщо розглянути ряд Фур'є (суму синусоїд) на всій осі Х, то можна побачити, що поза відрізка (0, T) функція представлена рядом Фур'є буде буде періодично повторювати нашу функцію. Наприклад, на графіку рис.7 початкова функція визначена на відрізку (-T \ 2, + T \ 2), а ряд Фур'є представляє періодичну функцію, певну на всій осі х. Це відбувається тому, що синусоїди самі є періодичними функціями, відповідно і їх сума буде періодичною функцією. рис.7 Подання неперіодичної вихідної функцій рядів Фур'є Таким чином: Наша початкова функція - безперервна, неперіодичних, визначена на деякому відрізку довжиною T. Періоди гармонійних складових кратні величині відрізка (0, T), на якому визначена початкова функція f (x). Іншими словами, періоди гармонік кратні тривалості вимірювання сигналу. Наприклад, період першої гармоніки ряду Фур'є дорівнює інтервалу Т, на якому визначена функція f (x). Період другої гармоніки ряду Фур'є дорівнює інтервалу Т / 2. І так далі (див. Рис. 8). рис.8 Періоди (частоти) гармонійних складових ряду Фур'є (тут Т = 2?) Відповідно, частоти гармонійних складових кратні величині 1 / Т. Тобто частоти гармонійних складових Fk рівні Fk = до \ Т, де до пробігає значення від 0 до ?, наприклад к = 0 F0 = 0; к = 1 F1 = 1 \ T; к = 2 F2 = 2 \ T; к = 3 F3 = 3 \ T; ... Fk = до \ Т (при нульовій частоті - постійна складова). Нехай наша початкова функція, являє собою сигнал, записаний протягом Т = 1 сек. Тоді період першої гармоніки буде дорівнює тривалості нашого сигналу Т1 = Т = 1 сек і частота гармоніки дорівнює 1 Гц. Період другої гармоніки буде дорівнює тривалості сигналу, поділеній на 2 (Т2 = Т / 2 = 0,5 сек) і частота дорівнює 2 Гц. Для третьої гармоніки Т3 = Т / 3 сек і частота дорівнює 3 Гц. І так далі. Крок між гармоніками в цьому випадку дорівнює 1 Гц. Таким чином сигнал тривалістю 1 сек можна розкласти на гармонійні складові (отримати спектр) з дозволом по частоті 1 Гц. Існує спосіб штучного збільшення тривалості сигналу шляхом додавання нулів до масиву відліків. Але реальну роздільну здатність по частоті він не збільшує. Звичайна схема вимірювання і оцифровки сигналу виглядає наступним чином. рис.9 Схема вимірювального каналу Сигнал з вимірювального перетворювача надходить на АЦП протягом періоду часу Т. Отримані за час Т відліки сигналу (вибірка) передаються в комп'ютер і зберігаються в пам'яті. рис.10 Оцифрований сигнал - N відліків отриманих за час Т Які вимоги висуваються до параметрів оцифровки сигналу? Пристрій, що перетворює вхідний аналоговий сигнал в дискретний код (цифровий сигнал) називається аналого-цифровий перетворювач (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki). Одним з основних параметрів АЦП є максимальна частота дискретизації (або частота семплірованія, англ. Sample rate) - частота взяття відліків безперервного в часі сигналу при його дискретизації. Вимірюється в герцах. ((Wiki)) Згідно з теоремою Котельникова, якщо безперервний сигнал має спектр, обмежений частотою Fмакс, то він може бути повністю і однозначно відновлений по його дискретним відліком, узятим через інтервали часу, тобто з частотою Fd? 2 * Fмакс, де Fd - частота дискретизації; Fмакс - максимальна частота спектра сигналу. Іншими слова частота оцифровки сигналу (частота дискретизації АЦП) повинна як мінімум в 2 рази перевищувати максимальну частоту сигналу, який ми хочемо виміряти. А що буде, якщо ми будемо брати відліки з меншою частотою, ніж потрібно по теоремі Котельникова? В цьому випадку виникає ефект «аліасинга» (він же стробоскопічний ефект, муаровий ефект), при якому сигнал високої частоти після оцифровки перетворюється в сигнал низької частоти, якого насправді не існує. На рис. 5 червона синусоїда високої частоти - це реальний сигнал. Синя синусоїда більш низької частоти - фіктивний сигнал, що виникає внаслідок того, за час взяття відліку встигає пройти більше, ніж пів-періоду високочастотного сигналу. Мал. 11. Поява помилкового сигналу низької частоти при недостатньо високій частоті дискретизації Щоб уникнути ефекту аліасинга перед АЦП ставлять спеціальний антіаліасінговий фільтр - ФНЧ (фільтр нижніх частот), який пропускає частоти нижче половини частоти дискретизації АЦП, а більш високі частоти заріже. Для того, щоб обчислити спектр сигналу по його дискретним відліком використовується дискретне перетворення Фур'є (ДПФ). Відзначимо ще раз, що спектр дискретного сигналу «за визначенням» обмежений частотою Fмакс, меншою половині частоти дискретизації Fd. Тому спектр дискретного сигналу може бути представлений сумою кінцевого числа гармонік, на відміну від нескінченної суми для ряду Фур'є безперервного сигналу, спектр якого може бути необмежений. Згідно з теоремою Котельникова максимальна частота гармоніки повинна бути такою, щоб на неї припадало як мінімум два відліку, тому число гармонік дорівнює половині числа відліків дискретного сигналу. Тобто якщо у вибірці мається N відліків, то число гармонік в спектрі дорівнюватиме N / 2. Розглянемо тепер дискретне перетворення Фур'є (ДПФ). Порівнюючи з рядом Фур'є Бачимо, що вони збігаються, за винятком того, що час в ДПФ має дискретний характер і число гармонік обмежена величиною N / 2 - половиною числа відліків. Формули ДПФ записуються в безрозмірних цілих змінних k, s, де k - номери відліків сигналу, s - номера спектральних складових. Повертаючись до результатів, отриманих на початку. Як вже було сказано вище, при розкладанні в ряд Фур'є неперіодичної функції (нашого сигналу), отриманий ряд Фур'є фактично відповідає періодичної функції з періодом Т. (рис.12). рис.12 Періодична функція f (x) з періодом Т0, з періодом вимірювання Т> T0 Як видно на рис.12 функція f (x) періодична з періодом Т0. Однак через те, що тривалість вимірювальної вибірки Т не збігається з періодом функції Т0, функція, що отримується як ряд Фур'є, має розрив в точці Т. В результаті спектр даної функції буде містити велику кількість високочастотних гармонік. Якби тривалість вимірювальної вибірки Т збігалася з періодом функції Т0, то в отриманому після перетворення Фур'є спектрі присутня б тільки перша гармоніка (синусоїда з періодом, що дорівнює тривалості вибірки), оскільки функція f (x) являє собою синусоїду. Іншими словами, програма ДПФ «не знає», що наш сигнал являє собою «шматок синусоїди», а намагається представити у вигляді ряду періодичну функцію, яка має розрив через нестиковки окремих шматків синусоїди. В результаті в спектрі з'являються гармоніки, які повинні в сумі зобразити форму функції, включаючи цей розрив. Таким чином, щоб отримати «правильний» спектр сигналу, що є сумою декількох синусоїд з різними періодами, необхідно щоб на періоді вимірювання сигналу вкладалося ціле число періодів кожної синусоїди. На практиці ця умова можна виконати при досить великої тривалості вимірювання сигналу. Рис.13 Приклад функції і спектра сигналу кінематичної похибки редуктора При меншій тривалості картина буде виглядати «гірше»: Рис.14 Приклад функції і спектра сигналу вібрації ротора На практиці буває складно зрозуміти, де «реальні складові», а де «артефакти», викликані некратними періодів складових і тривалості вибірки сигналу або «стрибками і розривами» форми сигналу. Звичайно слова «реальні складові» і «артефакти» не дарма взяті в лапки. Наявність на графіку спектра безлічі гармонік не означає, що наш сигнал в реальності з них «складається». Це все одно що вважати, ніби число 7 «складається» з чисел 3 і 4. Число 7 можна представити у вигляді суми чисел 3 і 4 - це правильно. Так і наш сигнал ... а вірніше навіть не «наш сигнал», а періодичну функцію, складену шляхом повторення нашого сигналу (вибірки) можна представити у вигляді суми гармонік (синусоїд) з певними амплітудами і фазами. Але в багатьох важливих для практики випадках (див. Малюнки вище) дійсно можна пов'язати отримані в спектрі гармоніки і з реальними процесами, що мають циклічний характер і вносять значний вклад в форму сигналу. 2. Сигнал представлений набором дійсних значень і його спектр представлений набором дійсних значень. Частоти гармонік позитивні. Те, що математикам буває зручніше представити спектр в комплексній формі з використанням негативних частот не означає, що «так правильно» і «так завжди треба робити». 3. Сигнал, який вимірюється на відрізку часу Т визначено тільки на відрізку часу Т. Що було до того, як ми почали вимірювати сигнал, і що буде після того - науці це невідомо. І в нашому випадку - нецікаво. ДПФ обмеженого в часі сигналу дає його «справжній» спектр, в тому сенсі, що за певних умов дозволяє обчислити амплітуду і частоту його складових. Використані матеріали та інші корисні матеріали. 2.1. Спектри періодичних сигналів
Періодичним сигналом (струмом або напругою) називають такий вид впливу, коли форма сигналу повторюється через деякий інтервал часу T, Який називається періодом. Найпростішою формою періодичного сигналу є гармонійний сигнал або синусоїда, яка характеризується амплітудою, періодом і початковою фазою. Всі інші сигнали будуть негармоническимиабо несинусоїдальними. Можна показати, і практика це доводить, що, якщо вхідний сигнал джерела живлення є періодичним, то і всі інші струми і напруги в кожній гілці (вихідні сигнали) також будуть періодичними. При цьому форми сигналів в різних гілках будуть відрізнятися один від одного. Існує загальна методика дослідження періодичних негармонійних сигналів (вхідних впливів і їх реакцій) в електричному ланцюзі, яка заснована на розкладанні сигналів в ряд Фур'є. Дана методика полягає в тому, що завжди можна підібрати ряд гармонійних (тобто синусоїдальних) сигналів з такими амплітудами, частотами і початковими фазами, алгебраїчна сума ординат яких в будь-який момент часу дорівнює ординате досліджуваного несинусоидального сигналу. Так, наприклад, напруга uна рис. 2.1. можна замінити сумою напруг і, оскільки в будь-який момент часу має місце тотожна рівність: Для розглянутого прикладу маємо період першої гармоніки збігається з періодом негармоніческого сигналуT 1
=
T, А період другої гармоніки в два рази меншимT 2
=
T/ 2, тобто миттєві значення гармонік повинні бути записані у вигляді: Тут амплітуди коливань гармонік рівні між собою ( Мал. 2.1. Приклад складання першої та другої гармоніки негармоніческого сигналу В електротехніці гармонійна складова, період якої дорівнює періоду негармоніческого сигналу, називається першійабо Основнийгармонікою сигналу. Всі інші складові називаються вищими гармонійними складовими. Гармоніка, частота якої в k разів більше першої гармоніки (а період, відповідно, в k разів менше), називається k - ой гармонікою. Виділяють також середнє значення функції за період, який називають нульовийгармонікою. У загальному випадку ряд Фур'є записують у вигляді суми нескінченного числа гармонійних складових різних частот: (2.1)
де k - номер гармоніки; - кутова частота k - ой гармоніки; ω 1 = ω = 2 π / T- кутова частота першої гармоніки; - нульова гармоніка. Для сигналів часто зустрічаються форм розкладання в ряд Фур'є можна знайти в спеціальній літературі. У таблиці 2 наведені розкладання для восьми форм періодичних сигналів. Слід зазначити, що наведені в таблиці 2 розкладання матимуть місце, якщо початок системи координат вибрані так, як це вказано на малюнках зліва; при зміні початку відліку часу tбудуть змінюватися початкові фази гармонік, амплітуди гармонік при цьому залишаться такими ж. Залежно від типу досліджуваного сигналу під V слід розуміти або величину, що вимірюється в вольтах, якщо це сигнал напруги, або величину, що вимірюється в амперах, якщо це сигнал струму. Розкладання в ряд Фур'є періодичних функцій Таблиця 2 Графік f(t)
Ряд Фур'є функціїf(t)
Примітка k = 1,3,5, ... k = 1,3,5, ... k = 1,3,5, ... k = 1,2,3,4,5 k = 1,3,5, ... k = 1,2,3,4,5 S = 1,2,3,4, .. k = 1,2,4,6, .. Сигнали 7 і 8 формуються з синусоїди допомогою схем, які використовують вентильні елементи. Сукупність гармонійних складових, що утворюють сигнал несинусоїдної форми, називається спектром цього негармоніческого сигналу. З цього набору гармонік виділяють і розрізняють амплітуднийі фазовийспектр. Амплітудним спектром називають набір амплітуд всіх гармонік, який зазвичай представляють діаграмою у вигляді набору вертикальних ліній, довжини яких пропорційні (в обраному масштабі) амплітудним значенням гармонійних складових, а місце на горизонтальній осі визначається частотою (номером гармоніки) даної складової. Аналогічно розглядають фазові спектри як сукупність початкових фаз всіх гармонік; їх також зображують в масштабі у вигляді набору вертикальних ліній. Слід зауважити, що початкові фази в електротехніці прийнято вимірювати в межах від -180 0 до +180 0. Спектри, що складаються з окремих ліній, називають лінійчатими або дискретними. Спектральні лінії знаходяться на відстані fодин від одного, де f- частотний інтервал, рівний частоті першої гармоніки fТаким чином, дискретні спектри періодичних сигналів мають спектральні складові з кратними частотами - f,
2f, 3f, 4f, 5fі т.д. Приклад 2.1.Знайти амплітудний і фазовий спектр для сигналу прямокутної форми, коли тривалості позитивного і негативного сигналу рівні, а середнє значення функції за період дорівнює нулю u(t) = Vпрі0<t<T/2
u(t) = -Vпрі T/2<t<T
Для сигналів простихчасто використовуваних форм рішення доцільно знаходити за допомогою таблиць. Мал. 2.2. Лінійчатий амплітудний спектр прямокутного сигналу З розкладання в ряд Фур'є сигналу прямокутної форми (див. Табл.2 - 1) випливає, що гармонійний ряд містить тільки непарні гармоніки, при цьому амплітуди гармонік зменшуються пропорційно номеру гармоніки. Амплітудний лінійчатий спектр гармонік представлений на рис. 2.2. При побудові прийнято, що амплітуда першої гармоніки (тут напруги) дорівнює одному вольт: B; тоді амплітуда третьої гармоніки буде дорівнює B, п'ятої - B і т.д. Початкові фази всіх гармонік сигналу дорівнюють нулю, отже, фазовий спектр має тільки нульові значення ординат. Завдання вирішена. Приклад 2.2.Знайти амплітудний і фазовий спектр для напруги, що змінюється за законом: при - T/4<t<T/4; u(t) = 0 при T/4<t<3/4T. Такий сигнал формується з синусоїди за допомогою виключення (схемним шляхом з використанням вентильних елементів) негативній частині гармонійного сигналу. Мал. 2.3. Лінійчатий спектр сигналу однополупериодного випрямлення: а) амплітуда; б) фазовий Для сигналу однополупериодного випрямлення синусоїдальної напруги (див. Табл.2 - 8) ряд Фур'є містить постійну складову (нульову гармоніку), першу гармоніку і далі набір тільки парних гармонік, амплітуди яких швидко зменшуються з ростом номера гармоніки. Якщо, наприклад, покласти величину V = 100 B, то, помноживши кожне доданок на загальний множник 2V / π, знайдемо(2.2)
Амплітудний і фазовий спектри цього сигналу зображені на рис.2.3, б. Завдання вирішена. Відповідно до теорії рядів Фур'є точне рівність негармоніческого сигналу сумі гармонік має місце тільки при нескінченно великому числі гармонік. Розрахунок гармонійних складових на ЕОМ дозволяє аналізувати будь-яке число гармонік, яке визначається метою розрахунку, точністю і формою негармоніческого впливу. Якщо тривалість сигналуt
незалежно від його форми багато менше періоду T, То амплітуди гармонік будуть спадати повільно, і для більш повного опису сигналу доводиться враховувати велику кількість членів ряду. Цю особливість можна простежити для сигналів, представлених в таблиці 2 - 5 і 6, при виконанні умови τ
<<T. Якщо негармоніческое сигнал по формі близький до синусоїді (наприклад, сигнали 2 і 3 в табл.2), то гармоніки зменшуються швидко, і для точного опису сигналу досить обмежитися трьома - п'ятьма гармоніками ряду.
З математичної точки зору - скільки помилок в цій фразі?
Тепер начальство вирішило ми вирішили, що 5 секунд - це занадто довго, давай вимірювати сигнал за 0.5 сек. 
рис.3 Графік функції sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) на періоді вимірювання 0.5 сек
рис.4 Спектр функції2. Безперервна функція і уявлення її поруч Фур'є
Математично наш сигнал тривалістю T секунд є деякою функцією f (x), заданої на відрізку (0, T) (X в даному випадку - час). Таку функцію завжди можна представити у вигляді суми гармонійних функцій (синусоїд або косинусоид) виду:
T - відрізок, де функція визначена (тривалість сигналу)
Ak - амплітуда k-ой гармонійної складової,
? K- початкова фаза k-ой гармонійної складової
де, k-я комплексна амплітуда.
Математичною основою спектрального аналізу сигналів є перетворення Фур'є.
Спектр цієї функції - дискретний, тобто представлений у вигляді нескінченного ряду гармонійних складових - ряду Фур'є.
За фактом, поруч Фур'є визначається деяка періодична функція, що збігається з нашою на відрізку (0, T), але для нас ця періодичність не суттєва.
Щоб збільшити дозвіл в 2 рази до 0,5 Гц - треба збільшити тривалість вимірювання в 2 рази - до 2 сек. Сигнал тривалістю 10 сек можна розкласти на гармонійні складові (отримати спектр) з дозволом по частоті 0,1 Гц. Інших способів збільшити дозвіл по частоті немає.3. Дискретні сигнали і дискретне перетворення Фур'є
З розвитком цифрової техніки змінилися і способи зберігання даних вимірювань (сигналів). Якщо раніше сигнал міг записуватися на магнітофон і зберігатися на стрічці в аналоговому вигляді, то зараз сигнали оцифровуються і зберігаються в файлах в пам'яті комп'ютера у вигляді набору чисел (відліків).
Величина s показує кількість повних коливань гармоніки на періоді Т (тривалості вимірювання сигналу). Дискретне перетворення Фур'є використовується для знаходження амплітуд і фаз гармонік чисельним методом, тобто "на комп'ютері"деякі підсумки
1. Реальний виміряний сигнал, тривалістю T сек, оцифрований АЦП, тобто представлений набором дискретних відліків (N штук), має дискретний неперіодична спектр, представлений набором гармонік (N / 2 штук). 
. Кожне з доданків є синусоїдою, частота коливання якої пов'язана з періодом Tцілочисельними співвідношеннями.
), А початкові фази дорівнюють нулю.
а) б)
