Суть розрахунків полягає, як правило, в тому, щоб за відомими значеннями всіх опорів ланцюга і параметрів джерел (ЕРС або струму) визначити струми у всіх гілках і напруги на всіх елементах (опорах) ланцюга.
Для розрахунку електричних ланцюгів постійного струму можуть застосовуватися різні методи. Серед них основними є:
- метод, заснований на складанні рівнянь Кірхгофа;
- метод еквівалентних перетворень;
- метод контурних струмів;
- метод накладення;
- метод вузлових потенціалів;
- метод еквівалентного джерела;
Метод, заснований на складанні рівнянь Кірхгофа, є універсальним і може застосовуватися як для одноконтурних, так і для багатоконтурних ланцюгів. При цьому кількість рівнянь, складених за другим законом Кірхгофа, має дорівнювати кількості внутрішніх контурів схеми.
Кількість рівнянь, складених за першим законом Кірхгофа, має бути на одиницю менше кількості вузлів у схемі.
Наприклад, для даної схеми
складається 2 рівняння по 1-му закону Кірхгофа і 3 рівняння по 2-му закону Кірхгофа.
Розглянемо інші методи розрахунку електричних ланцюгів:
Метод еквівалентних перетворень застосовується для спрощення схем і розрахунків електричних ланцюгів. Під еквівалентним перетворенням розуміється така заміна однієї схеми інший, при якій електричні величини схеми в цілому не змінюються (напруга, струм, споживана потужність залишаються незмінними).
Розглянемо деякі види еквівалентних перетворень схем.
а). послідовне з'єднання елементів
Загальний опір послідовно з'єднаних елементів дорівнює сумі опорів цих елементів.
R Е \u003d Σ R j (3.12)
R Е \u003d R 1 + R 2 + R 3
б). паралельне з'єднання елементів.
Розглянемо два паралельно з'єднаних елемента R1 і R 2. Напруга на цих елементах рівні, тому що вони підключені до одних і тих же вузлів а й б.
U R1 \u003d U R2 \u003d U АБ
Застосовуючи закон Ома отримаємо
U R1 \u003d I 1 R 1; U R2 \u003d I 2 R 2
I 1 R 1 \u003d I 2 R 2 або I 1 / I 2 \u003d R 2 / R 1
Застосуємо 1-й закон Кірхгофа до вузла (а)
I - I 1 - I 2 \u003d 0 або I \u003d I 1 + I 2
Висловимо струми I 1 і I 2 через напруги отримаємо
I 1 \u003d U R1 / R 1; I 2 \u003d U R2 / R 2
I \u003d U АБ / R 1 + U АБ / R 2 \u003d U АБ (1 / R 1 + 1 / R 2)
Відповідно до закону Ома маємо I \u003d U АБ / R Е; де R Е - еквівалентний опір
З огляду на це, можна записати
U АБ / R Е \u003d U АБ (1 / R 1 +1 / R 2),
1 / R Е \u003d (1 / R 1 + 1 / R 2)
Введемо позначення: 1 / R Е \u003d G Е - еквівалентна провідність
1 / R 1 \u003d G 1 - провідність 1-го елемента
1 / R 2 \u003d G 2 - провідність 2-го елемента.
Запишемо рівняння (6) у вигляді
G Е \u003d G 1 + G 2 (3.13)
З цього виразу випливає, що еквівалентна провідність паралельно з'єднаних елементів дорівнює сумі провідностей цих елементів.
На основі (3.13) отримаємо еквівалентний опір
R Е \u003d R 1 R 2 / (R 1 + R 2) (3.14)
в). Перетворення трикутника опорів в еквівалентну зірку і зворотне перетворення.
Ці три елементів ланцюга R 1, R 2, R 3, що має вигляд трьох променевої зірки з загальною точкою (вузлом), називається з'єднанням "зірка", а поєднання цих же елементів, при якому вони утворюють боку замкнутого трикутника - з'єднанням "трикутник".
Рис.3.14. Рис.3.15.
з'єднання - зірка () з'єднання - трикутник ()
Перетворення трикутника опорів в еквівалентну зірку проводиться за наступними правилом і співвідношенням:
Опір променя еквівалентної зірки дорівнює добутку опорів двох сусідніх сторін трикутника, поділеній на суму всіх трьох опорів трикутника.
Перетворення зірки опорів в еквівалентний трикутник проводиться за наступними правилом і співвідношенням:
Опір боку еквівалентного трикутника дорівнює сумі опорів двох сусідніх променів зірки плюс добуток цих двох опорів, поділене на опір третього променя:
г). Перетворення джерела струму в еквівалентний джерело ЕРС Якщо в схемі є один або кілька джерел струму, то часто для зручності розрахунків слід замінити джерела струму на джерела ЕРС
Нехай джерело струму має параметри I До і G ВН.
Рис.3.16. Рис.3.17.
Тоді параметри еквівалентного джерела ЕРС можна визначити з співвідношень
E Е \u003d I К / G ВН; R ВН.Е \u003d 1 / G ВН (3.17)
При заміні джерела ЕРС еквівалентним джерелом струму необхідно використовувати наступні співвідношення
I До Е \u003d E / R ВН; G ВН, Е \u003d 1 / R ВН (3.18)
Метод контурних струмів.
Цей метод застосовується, як правило, при розрахунках багатоконтурних схем, коли число рівнянь, складених за 1-му і 2-му законам Кирхгофа, дорівнює шести і більше.
Для розрахунку за методом контурних струмів в схемі складного ланцюга визначаються і нумеруються внутрішні контури. У кожному з контурів довільно вибирається напрямок контурного струму, тобто струму, замикається тільки в даному контурі.
Потім для кожного контуру складається рівняння по 2-му закону Кірхгофа. При цьому, якщо будь-який опір належить одночасно двом суміжним контурам, то напруга на ньому визначається як алгебраїчна сума напруг, створюваних кожним з двох контурних струмів.
Якщо кількість контурів n, то і рівнянь буде n. Вирішуючи дані рівняння (методом підстановки або визначників), знаходять контурні струми. Потім, використовуючи рівняння, записані по 1-му закону Кірхгофа, знаходять струми в кожній з гілок схеми.
Запишемо контурні рівняння для даної схеми.
Для 1-го контуру:
I 1 R 1 + (I 1 + I 2) R 5 + (I I + I III) R 4 \u003d E 1 -E 4
Для 2-го контуру
(I I + I II) R 5 + I II R 2 + (I II -I III) R 6 \u003d E 2
Для 3-го контуру
(I I + I III) R 4 + (I III -I II) R 6 + I III R 3 \u003d E 3 -E 4
Виробляючи перетворення запишемо систему рівнянь у вигляді
(R 1 + R 5 + R 4) I I + R 5 I II + R 4 I III \u003d E 1 -E 4
R 5 I I + (R 2 + R 5 + R 6) I II -R 6 I III \u003d E 2
R 4 I I -R 6 I II + (R 3 + R 4 + R 6) I III \u003d E 3 -E 4
Вирішуючи цю систему рівнянь, визначаємо невідомі I 1, I 2, I 3. Струми в гілках визначаються, використовуючи рівняння
I 1 \u003d I I; I 2 \u003d I II; I 3 \u003d I III; I 4 \u003d I I + I III; I 5 \u003d I I + I II; I 6 \u003d I III III
Метод накладень.
Цей метод заснований на принципі накладення і застосовується для схем з декількома джерелами електроенергії. Відповідно до цього методу при розрахунку схеми, що містить кілька джерел е.р.с. , По черзі покладаються рівними нулю всі ЕРС, крім однієї. Проводиться розрахунок струмів в схемі, створюваної однієї цієї ЕРС. Розрахунок проводиться окремо для кожної ЕРС, що міститься в схемі. Дійсні значення струмів в окремих гілках схеми визначаються як алгебраїчна сума струмів, створюваних незалежним дією окремих ЕРС.
Рис.3.20. Ріс.3.21.
На рис. 3.19 вихідна схема, а на рис.3.20 і ріс.3.21 схеми заміщається з одним джерелом в кожній.
Проводиться розрахунок струмів I 1 ', I 2', I 3 'і I 1 ", I 2", I 3 ".
Визначаються струми в гілках вихідної схеми за формулами;
I 1 \u003d I 1 '-I 1 "; I 2 \u003d I 2 "-I 2 '; I 3 \u003d I 3 '+ I 3 "
Метод вузлових потенціалів
Метод вузлових потенціалів дозволяє зменшити число спільно розв'язуваних рівнянь до В - 1, де У - число вузлів схеми заміщення ланцюга. Метод заснований на застосуванні першого закону Кірхгофа і полягає в наступному:
1. Один вузол схеми ланцюга приймаємо базисним з нульовим потенціалом. Таке припущення не змінює значення струмів в гілках, так як - струм в кожній гілці залежить тільки від різниць потенціалів вузлів, а не від дійсних значень потенціалів;
2. Для решти У - 1 вузлів складаємо рівняння за першим законом Кірхгофа, висловлюючи струми гілок через потенціали вузлів.
При цьому в лівій частині рівнянь коефіцієнт при потенціалі розглянутого вузла позитивний і дорівнює сумі провідностей сходяться до нього гілок.
Коефіцієнти при потенціалах вузлів, з'єднаних гілками з розглядатися вузлом, негативні і рівні провідності відповідних гілок. Права частина рівнянь містить алгебраїчну суму струмів гілок з джерелами струмів і струмів короткого замикання гілок з джерелами ЕРС, що сходяться до розглянутого вузла, причому складові беруться зі знаком плюс (мінус), якщо струм джерела струму і ЕРС спрямовані до розглянутого вузла (від вузла).
3. Рішенням складеної системи рівнянь визначаємо потенціали У-1 вузлів щодо базисного, а потім струми гілок по обобщен- ному закону Ома.
Розглянемо застосування методу на прикладі розрахунку ланцюга по рис. 3.22.
Для вирішення методом вузлових потенціалів приймаємо 
.
Система вузлових рівнянь: число рівнянь N \u003d N y - N B -1,
де: N y \u003d 4 - число вузлів,
N B \u003d 1 - число вироджених гілок (гілки з 1-м джерелом ЕРС),
тобто для цього ланцюга: N \u003d 4-1-1 \u003d 2.
Складаємо рівняння за першим законом Кірхгоф для (2) і (3) вузлів;
I2 - I4 - I5 - J5 \u003d 0; I4 + I6 -J3 \u003d 0;
Уявімо струми гілок по закону Ома через потенціали вузлів:
I2 \u003d (φ2 - φ1) / R2; I4 \u003d (φ2 + E4 - φ3) / R4
I5 \u003d (φ2 - φ4) / R5; I6 \u003d (φ3 - E6 - φ4) / R6;
де, 
Підставивши ці вирази в рівняння струмів вузлів, отримаємо систему;
де 
,
Вирішуючи систему рівнянь чисельним методом підстановки або определі- телей знаходимо значення потенціалів вузлів, а по ним значення напруг і струмів в гілках.
Метод еквівалентного джерела (активного двухполюсника)
Двополюсників називається ланцюг, яка з'єднується з зовнішньою частиною через два висновки - полюса. Розрізняють активні і пасивні двухполюсники.
Активний двухполюсник містить джерела електричної енергії, а пас- вибухобезпечний їх не містить. Умовні позначення двухполюсников прямоугольні- кому з буквою А для активного і П для пасивного (рис. 3.23.)
Для розрахунку ланцюгів з двухполюсника останні представляють схемами заме -щенія. Схема заміщення лінійного двухполюсника визначається його вольт-амперної або зовнішньою характеристикою V (I). Вольт-амперна характеристика пасивного двухполюсника - пря травня. Тому його схема заміщення представ ляется резистивним елементом з опором:
rвх \u003d U / I (3.19)
де: U - напруга між висновками, I-струм і Rвх - вхідний опір.
Вольт-амперну характеристику активного двухполюсника (рис. 3.23, б) можна побудувати за двома точками, відповідним режимам холостого ходу, т. Е. При г н \u003d °°, U \u003d U х, I \u003d 0, і короткого замикання, т. е. при г н \u003d 0, U \u003d 0, I \u003d Ік. Ця характеристика та її рівняння має вигляд:
U \u003d U х - ек I \u003d 0 (3.20)
ек \u003d U х / Ік (3.21)
де: ек - еквівалентний або вихідний опір двухполюсника, збігатися
дають з однойменними характеристикою і рівнянням джерела електроенер- гії, яку представляють схемами заміщення на рис. 3.23. 
Отже, активний двухполюсник представляється еквівалентним джерелом з ЕРС - Е ек \u003d U х і внутрішнім опором - ек \u003d г вих (рис. 3.23, а) Приклад активного двухполюсніка.- гальванічний елемент. При зміні струму в межах 0 Якщо приймач з опором навантаження г н підключений до активного дво- полюснік, то його ток визначається за методом еквівалентного джерела: I \u003d Е ек / (г н + ек) \u003d U х / (г н + г вих) (3.21) Як приклад розглянемо розрахунок струму I в ланцюзі на рис 3.24, а методом еквівалентного джерела. Для розрахунку напруги холостого ходу U х між висновками а й видання активного двухполюсника розімкніть гілка з резистивним елементом г н (рис. 3.24, б). Застосовуючи метод накладення і з огляду на симетрію схеми, знаходимо: U х \u003d J г / 2 + Е / 2 Замінивши джерела електричної енергії (в цьому прикладі джерела ЕРС і струму) активного двухполюсника резистивним елементами з опорами, рівними внутрішнім опорам відповідних джерел (в цьому прикладі нульовим для джерела ЕРС і нескінченно великим для джерела струму опорами), отримаємо вихідний опір (опір виміряний на висновках а і б) г вих \u003d г / 2 (ріс.3.24, в). По (3.21) шуканий струм: I \u003d (J г / 2 + Е / 2) / (г н + r / 2). Визначення умов передачі приймачу максимальної енергії У пристроях зв'язку, в електроніці, автоматиці і т. Д. Часто бажано передати від джерела до приймача (виконавчого механізму) найбільшу енергію, причому ККД передачі має другорядне значення в силу малості енергії. Розглянемо загальний випадок живлення приймача від активного двухполюсника, на рис. 3.25 останній представлений еквіва- лентним джерелом з ЕРС Е ек і внутрішнім опором г ек. Визначимо потужності Рн, РЕ і ККД передачі енергії: Рн \u003d U н I \u003d (Е ек - ек I) I; РЕ \u003d Е ек I \u003d (г н - ек I) I 2 η \u003d Рн / РЕ 100% \u003d (1 - ек I / Е ек) 100% При двох граничних значеннях опору г н \u003d 0 і г н \u003d °° потужність приймача дорівнює нулю, так як в першому випадку дорівнює нулю напруга між висновками приймача, а в другому випадку - струм в ланцюзі. Отже, деякого певного значення г н відповідає найбільше можливе (при даних е ек і ек) значення потужності приймача. Щоб визначити це значення опору, прирівняємо нулю першу похідну від потужності р н по г н і отримаємо: (Ек - г н) 2 - 2 г н ек -2 г н 2 \u003d 0 звідки випливає, що за умови г н \u003d ек (3.21) потужність приймача буде максимальна: Рн max \u003d г н (Е 2 ек / 2 г н) 2 \u003d Е 2 ек / 4 г н I (3.22) Рівність (1.38) називається умовою максимальної потужності приймача, тобто передачі максимальної енергії. На рис. 3.26 наведені залежності Рн, РЕ, U н і η від струму I. ТЕМА 4: ЛІНІЙНІ ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛА ЗМІННОГО Змінним називається періодично змінюється у напрямку і амплітуді електричний струм. При цьому, якщо змінний струм змінюється за синусоїдальним законом - він називається синусоїдальним, а якщо немає - несінусоідальим. Електричне коло з таким струмом називається ланцюгом змінного (синусоїдального або несинусоидального) струму. Електронні пристрої та змінного струму знаходять широке примі- ня в різних областях народного господарства, при генеруванні, передачі і трансформування електричної енергії, в електроприводі, побутової тех- ніку, промисловій електроніці, радіотехніці і т. Д. Переважне поширення електротехнічних пристроїв пере- менного синусоїдального струму обумовлено рядом причин. Сучасна енергетика заснована на передачі енергії на далекі відстані за допомогою електричного струму. Обов'язковою умовою такої передачі є можливість простого і з малими втратами енергії перетворень ня струму. Таке перетворення можна здійснити лише в електротехнічних пристроях змінного струму - трансформаторах. Внаслідок величезних переваг трансформування в сучасній електроенергетиці застосо- вується перш за все синусоїдальний струм. Великим стимулом для розробки і розвитку електротехнічних уст- ройств синусоїдального струму є можливість отримання джерел електричної енергії великої потужності. У сучасних турбогенераторів теплових електростанцій потужність равна100-1500 МВт на один агрегат, великі потужності мають і генератори гідростанцій. До найбільш простим і дешевим електричним двигунам відносяться асинхронний Хроні двигуни змінного синусоїдального струму, в яких відсутні рухомі електричні контакти. Для електроенергетичних установок (зокрема, для всіх електричних станцій) в Росії і в більшості країн світу прийнята стандартна частота 50 Гц (в США - 60 Гц). Причина такого вибору прості: зниження частоти неприйнятно, тому що вже при частоті струму 40 Гц лампи розжарювання помітно для ока блимають; підвищення часто- ти небажано, так як пропорційно частоті зростає ЕРС саме індукції, що негативно впливає на передачу енергії по проводах "і роботу багатьох електротехнічних пристроїв. Ці міркування, однак, не обмежують при- сування змінного струму інших частот для вирішення різних технічних і наукових завдань. Наприклад, частота змінного синусоїдального струму електро- три чеських печей для виплавки тугоплавких металів становить до 500Гц. У радіоелектроніки застосовуються високочастотні (мегогерцовие) устрой- ства, так на таких частотах підвищується випромінювання електромагнітних хвиль. Залежно від числа фаз електричні ланцюги змінного з струму під- поділяються на однофазні та трифазні. 3.1. Модель ланцюга постійного струму Якщо в електричному ланцюзі діють постійні напруги і протікають постійні струми, то моделі реактивних елементів L і C істотно спрощуються. Модель опору залишається колишньою і зв'язок між напругою і струмом визначається законом Ома у вигляді В ідеальній індуктивності миттєві значення напруги і струму пов'язані співвідношенням Аналогічно в ємності зв'язок між миттєвими значеннями напруги і струму визначається у вигляді Таким чином, в моделі ланцюга постійного струму присутні тільки опору (моделі резисторів) і джерела сигналу, а реактивні елементи (індуктивності і ємності) відсутні. 3.2. Розрахунок ланцюга на основі закону Ома Цей метод зручний для розрахунку порівняно простих ланцюгів з одним джерелом сигналу. Він передбачає обчислення опорів ділянок ланцюга, для яких відома величина струму (або напруги), з подальшим визначенням невідомого напруги (або струму). Розглянемо приклад розрахунку ланцюга, схема якої приведена на рис. 3.1, при струмі ідеального джерела А і опорах Ом, Ом, Ом. Необхідно визначити струми гілок і, а також напруги на опорах, і. Відомий ток джерела, тоді можна обчислити опір ланцюга щодо затискачів джерела струму (паралельного з'єднання опору і послідовно соедінен- Рис. 3.1. них опорів і), Тоді напруга на джерелі струму (на опорі) дорівнює Потім можна знайти струми гілок Отримані результати можна перевірити за допомогою першого закону Кірхгофа в вигляді. Підставляючи обчислені значення, отримаємо А, що збігається з величиною струму джерела. Знаючи струми гілок, неважко знайти напруги на опорах (величина вже знайдена) За другим законом Кірхгофа. Складаючи отримані результати, переконуємося в його виконанні. 3.3. Загальний метод розрахунку ланцюга на основі законів Ома і Кірхгофа Загальний метод розрахунку струмів і напруг в електричному ланцюзі на основі законів Ома і Кірхгофа придатний для розрахунку складних ланцюгів з декількома джерелами сигналу. Розрахунок починається з завдання позначень і позитивних напрямків струмів і напруг для кожного елемента (опору) ланцюга. Система рівнянь включає в себе підсистему компонентних рівнянь, що зв'язують по закону Ома струми і напруги в кожному елементі (опорі) і підсистему топологічних рівнянь, побудовану на основі першого і другого законів Кірхгофа. Розглянемо розрахунок простий ланцюга з попереднього прикладу, показаної на рис. 3.1, при тих же вихідних даних. Підсистема компонентних рівнянь має вигляд У ланцюзі є два вузла () і дві гілки, що не містять ідеальних джерел струму (). Отже, необхідно записати одне рівняння () за першим законом Кірхгофа, і одне рівняння другого закону Кірхгофа (), які і утворюють підсистему топологічних рівнянь. Рівняння (3.4) - (3.6) є повною системою рівнянь ланцюга. Підставляючи (3.4) в (3.6), отримаємо а, об'єднавши (3.5) і (3.7), отримаємо два рівняння з двома невідомими струмами гілок, Висловлюючи з першого рівняння (3.8) струм і підставляючи його в друге, знайдемо значення струму, а потім знайдемо А. За обчисленими струмів гілок з композитних рівнянь (3.4) визначимо напруги. Результати розрахунку збігаються з отриманими раніше в підрозділі 3.2. Розглянемо більш складний приклад розрахунку ланцюга в схемі, показаної на рис. 3.2, з параметрами Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ланцюг містить вузла (їх номери вказані в гуртках) і гілок, що не містять ідеальні джерела струму. Система компонентних рівнянь ланцюга має вигляд За першим законом Кірхгофа необхідно записати рівняння (вузол 0 не використовується), За другим законом Кірхгофа складається рівняння для трьох незалежних контурів, зазначених на схемі колами зі стрілками (всередині вказані номери контурів), Підставляючи (3.11) в (3.13), спільно з (3.12) отримаємо систему шести рівнянь виду З другого і третього рівнянь висловимо а з першого, тоді підставивши і, отримаємо. Підставляючи струми, і в рівняння другого закону Кирхгофа, запишемо систему з трьох рівнянь яку після приведення подібних запишемо у вигляді позначимо і з третього рівняння системи (3.15) запишемо Підставляючи отримане значення в перші два рівняння (3.15), отримаємо систему з двох рівнянь виду З другого рівняння (3.18) отримаємо тоді з першого рівняння знайдемо струм Обчисливши, з (3.19) знайдемо, з (3.17) обчислимо, а потім з рівнянь підстановки знайдемо струми,,. Як видно, аналітичні обчислення досить громіздкі, і для чисельних розрахунків доцільніше використовувати сучасні програмні пакети, наприклад, MathCAD2001. Приклад програми показаний на рис. 3.3. Матриця - стовпець містить значення струмів А, А, А. Решта струми обчислюються відповідно до рівнянь (3.14) і рівні А, А, А. Попередньо обчислені значення струмів збігаються з отриманими за наведеними вище формулами. Загальний метод розрахунку ланцюга по рівняннях Кірхгофа призводить до необхідності вирішення лінійних алгебраїчних рівнянь. При великому числі гілок виникають математичні та обчислювальні труднощі. Це означає, що доцільно шукати методи розрахунку, що вимагають складання і рішення меншого числа рівнянь. 3.4. Метод контурних струмів Метод контурних струмівбазується науравненіях другого закону Кірхгофа і призводить до необхідності вирішення рівнянь, - число всіх гілок, в тому числі і містять ідеальні джерела струму. У ланцюзі вибираються незалежних контурів і для кожного -го з них вводиться кільцевої (замкнутий) контурний струм (подвійна індексація дозволяє відрізняти кон- турне струми від струмів гілок). Через контурні струми можна висловити все струми гілок і для кожного незалежного контуру записати рівняння другого закону Кірхгофа. Система рівнянь містить рівнянь, з яких визначаються всі контурні струми. За знайденими контурним струмів знаходяться струми або напруги гілок (елементів). Розглянемо приклад ланцюга на рис. 3.1. На рис 3.4 наведена схема із зазначенням позначень і позитивних напрямків двох контурних струмів і (,,). Рис. 3.4 Через гілку проте- кає тільки контурний струм і його напрямок збігається з, тому струм гілки дорівнює В галузі протікають два контурних струму, струм збігається за напрямком з, а струм має протилежний зміст, отже Для контурів, що не містять ідеальні джерела струму, Складаємо рівняння другого закону Кирхгофа з використанням закону Ома, в даному прикладі записується одне рівняння якщо в контур включений ідеальне джерело струму, То для нього рівняння другого закону Кірхгофа не складається, А його контурний струм дорівнює струму джерела з урахуванням їх позитивних напрямків, в даному випадку Тоді система рівнянь набуває вигляду В результаті підстановки другого рівняння на початку отримаємо тоді струм дорівнює а струм А. З (3.21) А, а з (3.22) відповідно А, що повністю збігається з отриманими раніше результатами. При необхідності за знайденим значенням струмів гілок по закону Ома можна обчислити напруги на елементах ланцюга. Розглянемо більш складний приклад ланцюга на рис. 3.2, схема якої із заданими контурними струмами показана на рис. 3.5. У цьому випадку число гілок, кількість вузлів, тоді число незалежних контурів і рівнянь за методом контурних струмів одно. Для струмів гілок можна записати Перші три контури не містять ідеальних джерел струму, тоді з урахуванням (3.28) і використанням закону Ома для них можна записати рівняння другого закону Кирхгофа, У четвертому контурі присутній ідеальне джерело струму, тому для нього рівняння другого закону Кирхгофа не складається, а контурний струм дорівнює струму джерела (вони збігаються за напрямком), Підставляючи (3.30) в систему (3.29), після перетворення отримаємо три рівняння для контурних струмів у вигляді Систему рівнянь (3.31) можна вирішити аналітично (наприклад, методом підстановки - виконайте це), Отримавши формули для контурних струмів, а потім з (3.28) визначити струми гілок. Для чисельних розрахунків зручно використовувати пакет програм MathCAD, приклад програми показаний на рис. 3.6. Результати обчислень збігаються з розрахунками, наведеними на рис. 3.3. Як видно, метод контурних струмів вимагає складання і рішення меншого числа рівнянь в порівнянні із загальним методом розрахунку за рівняннями Кірхгофа. 3.5. Метод вузлових напруг Метод вузлових напруг базується на першому законі Кирхгофа, при цьому число рівнянь дорівнює. У ланцюзі виділяються все вузлів і один з них вибирається в якості базисного, Якому присвоюється нульовий потенціал. Потенціали (напруги) ... інших вузлів відраховуються від базисного, їх позитивні напрямки зазвичай вибираються стрілкою в базисний вузол. Через вузлові напруги з використанням закону Ома і другого закону Кирхгофа виражаються струми всіх гілок і для вузлів записуються рівняння першого закону Кірхгофа. Розглянемо приклад ланцюга, показаної на рис. 3.1, для методу вузлових напруг її схема показана на рис. 3.7. Нижній вузол позначений як базисний (для цього використовується символ «земля» - точка нульового потенціалу), напруга верхнього вузла щодо базисного про- Рис. 3.7 значиться як. висловимо через нього струми гілок За першим законом Кірхгофа з урахуванням (3.32) запишемо єдине рівняння методу вузлових напруг (), Вирішуючи рівняння, отримаємо а з (3.32) визначимо струми гілок Отримані результати збігаються з отриманими розглянутими раніше методами. Розглянемо більш складний приклад ланцюга, показаної на рис. 3.2 при тих же вихідних даних, її схема показана на рис. 3.8. У ланцюзі вузла, нижній обраний базисним, а три інші позначені номерами в гуртках. введено позитивні на- Рис. 3.8 правління і обозна- чення вузлових напруг, і. Згідно із законом Ома з використанням другого закону Кірхгофа визначимо струми гілок, За першим законом Кірхгофа для вузлів з номерами 1, 2 і 3 необхідно скласти три рівняння, Підставляючи (3.36) в (3.37), отримаємо систему рівнянь методу вузлових напруг, Після перетворення і приведення подібних отримаємо Програма розрахунку вузлових напруг і струмів гілок приведена на рис. 3.9. Як видно, отримані результати збігаються з отриманими раніше іншими методами розрахунку. Проведіть аналітичний розрахунок вузлових напруг, отримаєте формули для струмів гілок і обчисліть їх значення. 3.6. метод накладення метод накладення полягає в наступному. Розрахунок проводиться в такий спосіб. У ланцюзі, що містить кілька джерел, по черзі вибирається кожен з них, а решта відключаються. При цьому утворюються ланцюга з одним джерелом, число яких дорівнює кількості джерел у вихідній ланцюга. У кожній з них проводиться розрахунок шуканого сигналу, а результуючий сигнал визначається їх сумою. Як приклад розглянемо розрахунок струму в ланцюзі, показаної на рис. 3.2, її схема показана на рис. 3.10а. При виключенні ідеального джерела струму (його ланцюг розривається) виходить ланцюг, показана на рис. 3.9б, в якій будь-яким з розглянутих методів визначається струм. Потім вимикається ідеальне джерело напруги (він замінюється коротким замиканням) і виходить ланцюг, показана на рис. 3.9а, в якій знаходиться ток. Шуканий струм дорівнює Проведіть аналітичні та чисельні розрахунки самостійно, Порівняйте з отриманими раніше результатами, наприклад, (3.20). 3.7. Порівняльний аналіз методів розрахунку Метод розрахунку, заснований на законі Ома, придатний для порівняно простих ланцюгів з одним джерелом. Його не можна використовувати для аналізу ланцюгів складної структури, наприклад, мостового типу виду рис.3.9. Загальний метод розрахунку ланцюга на основі рівнянь законів Ома і Кірхгофа універсальний, але вимагає складання і рішення системи з рівнянь, яка легко перетворюється в систему з рівнянь. При великому числі гілок різко зростають обчислювальні витрати, особливо при необхідності аналітичних розрахунків. Методи контурних струмів і вузлових напруг більш ефективні, так як призводять до систем з меншим числом рівнянь, рівним відповідно і. За умови метод контурних струмів ефективніше, а інакше доцільно застосовувати метод вузлових напруг. Метод накладення зручний, коли при відключенні джерел відбувається різке спрощення ланцюга. Завдання 3.5.Загальним методом розрахунку, методами контурних струмів і вузлових напруг визначте в ланцюзі рис. 3.14 напругу при мА кОм, кОм, кОм, кОм, кОм. Проведіть порівняльний аналіз методів розрахунку. Рис. 3.14 4. Гармонійні ТОКИ І НАПРУГИ Основними законами, що визначають розрахунок електричного кола, Є закони Кірхгофа. На основі законів Кірхгофа розроблений ряд практичних методів розрахунку електричних ланцюгів постійного струму, Що дозволяють скоротити обчислення при розрахунку складних схем. Істотно спростити обчислення, а в деяких випадках і знизити трудомісткість розрахунку, можливо за допомогою еквівалентних перетворень схеми. Перетворять паралельні і послідовні з'єднання елементів, з'єднання «зірка» в еквівалентний «трикутник» і навпаки. Здійснюють заміну джерела струму еквівалентним джерелом ЕРС. Методом еквівалентних перетворень теоретично можна розрахувати будь-яку ланцюг, і при цьому використовувати прості обчислювальні засоби. Або ж визначити струм в якій-небудь одній галузі, без розрахунку струмів інших ділянок ланцюга. У даній статті по теоретичних основ електротехніки розглянуті приклади розрахунку лінійних електричних ланцюгів постійного струму з використанням методу еквівалентних перетворень типових схем з'єднання джерел і споживачів енергії, наведені розрахункові формули. Розв'язання задач
Завдання 1. Для ланцюга (рис. 1), визначити еквівалентний опір
щодо вхідних затискачів a-g, Якщо відомо: R 1 = R 2 \u003d 0,5 Ом, R 3 \u003d 8 Ом, R 4 = R 5 \u003d 1 Ом, R 6 \u003d 12 Ом, R 7 \u003d 15 Ом, R 8 \u003d 2 Ом, R 9 \u003d 10 Ом, R 10 \u003d 20 Ом. почнемо еквівалентні перетворення схеми з гілки найбільш віддаленої від джерела, тобто від затискачів a-g: Завдання 2. Для ланцюга (рис. 2, а), визначити вхідний опір
якщо відомо: R 1 = R 2 = R 3 = R 4 \u003d 40 Ом. Вихідну схему можна перекреслити щодо вхідних затискачів (рис. 2, б), З чого видно, що всі опори включені паралельно. Так як величини опорів рівні, то для визначення величини еквівалентного опоруможна скористатися формулою: де R - величина опору, Ом; n - кількість паралельно з'єднаних опорів. Завдання 3. Визначити еквівалентний опір
щодо затискачів a-b, якщо R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5 = R 6 \u003d 10 Ом (рис. 3, а). Перетворимо з'єднання «трикутник» f-d-c в еквівалентну «зірку». Визначаємо величини перетворених опорів (рис. 3, б): За умовою завдання величини всіх опорів рівні, а значить: На перетвореної схемою отримали паралельне з'єднання гілок між вузлами e-b, тоді еквівалентний опір одно: І тоді еквівалентний опір вихідної схеми представляє послідовне з'єднання опорів: Завдання 4. У заданої ланцюга (рис. 4, а)
вхідні опору гілок a-b, c-d і f-b, Якщо відомо, що: R 1 \u003d 4 Ом, R 2 \u003d 8 Ом, R 3 \u003d 4 Ом, R 4 \u003d 8 Ом, R 5 \u003d 2 Ом, R 6 \u003d 8 Ом, R 7 \u003d 6 Ом, R 8 \u003d 8 Ом. Для визначення вхідного опору гілок виключають зі схеми все джерела ЕРС. При цьому точки c і d, а також b і f з'єднуються накоротко, тому що внутрішні опору ідеальних джерел напруги дорівнюють нулю. гілка a-b розривають, і тому опір R a -b \u003d 0, то вхідний опір гілки одно еквівалентному опору схеми щодо точок a і b (Рис. 4, б): аналогічно методом еквівалентних перетворень визначаються вхідні опору гілок R cd і R bf. Причому, при обчисленні опорів враховано, що з'єднання з'єднує безпосередньо точок a і b виключає ( «закорачивает») зі схеми опору R 1 , R 2 , R 3 , R 4 в першому випадку, і R 5 , R 6 , R 7 , R 8 в другому випадку. Завдання 5. У ланцюзі (рис. 5) визначити методом еквівалентних перетворень
струми I 1 , I 2 , I 3 і скласти баланс потужностей
, Якщо відомо: R 1 \u003d 12 Ом, R 2 \u003d 20 Ом, R 3 \u003d 30 Ом, U \u003d 120 В. Еквівалентнаопірдля паралельно включених опорів: Еквівалентнаопір всьому ланцюгу: Струм в нерозгалужене частини схеми: Напруга на паралельних опорах: Токи в паралельних гілках: баланс потужностей
: Завдання 6. У ланцюзі (рис. 6, а), визначити
методом еквівалентних перетворень
показання амперметра
, Якщо відомо: R 1 \u003d 2 Ом, R 2 \u003d 20 Ом, R 3 \u003d 30 Ом, R 4 \u003d 40 Ом, R 5 \u003d 10 Ом, R 6 \u003d 20 Ом, E \u003d 48 В. Опір амперметра можна вважати рівним нулю. якщо опору R 2 , R 3 , R 4 , R 5 замінити одним еквівалентним опором R Е, То вихідну схему можна представити в спрощеному вигляді (рис. 6, б). Величина еквівалентного опору: перетворивши паралельне з'єднання опорів R Е і R 6 схеми (рис. 6, б), Отримаємо замкнутий контур, для якого по другим законом Кірхгофа можна записати рівняння: звідки струм I 1: Напруга на затискачах паралельних гілок U ab висловимо з рівняння по закону Ома для пасивної гілки, отриманої перетворенням R Е і R 6: Тоді амперметр покаже струм: Завдання 7. Визначити струми гілок схеми методом еквівалентних перетворень
(Рис. 7, а), Якщо R 1 = R 2 = R 3 = R 4 \u003d 3 Ом, J \u003d 5 А, R 5 \u003d 5 Ом. Є визначення деяких параметрів на основі вихідних даних, з умови задачі. На практиці використовують кілька методів розрахунку простих ланцюгів. Один з них базується на застосуванні еквівалентних перетворень, що дозволяють спростити ланцюг. Під еквівалентними перетвореннями в електричному ланцюзі мається на увазі заміна одних елементів іншими таким чином, щоб електромагнітні процеси в ній не змінилися, а схема спрощувалася. Одним з видів таких перетворень є заміна кількох споживачів, включених послідовно або паралельно, одним еквівалентним. Кілька послідовно з'єднаних споживачів можна замінити одним, причому його еквівалентний опір дорівнює сумі опорів споживачів,. Для n споживачів можна записати: rе \u003d r1 + r2 + ... + rn, де r1, r2, ..., rn - опору кожного з n споживачів. При паралельному з'єднанні n споживачів еквівалентна провідність gе дорівнює сумі провідностей окремих елементів, включених паралельно: gе \u003d g1 + g2 + ... + gn. З огляду на, що провідність є зворотною величиною по відношенню до опору, можна еквівалентний опір визначити з виразу: 1 / rе \u003d 1 / r1 + 1 / r2 + ... + 1 / rn, де r1, r2, ..., rn - опору кожного з n споживачів, включених паралельно. В окремому випадку, коли паралельно включені два споживача r1 і r2, еквівалентний опір ланцюга: rе \u003d (r1 х r2) / (r1 + r2) Перетворення в складних ланцюгах, де відсутня в явному вигляді елементів (рисунок 1), починають з заміни елементів, включених у вихідній схемі трикутником, на еквівалентні елементи, з'єднані зіркою. Малюнок 1. Перетворення елементів ланцюга: а - з'єднаних трикутником, б - в еквівалентну зірку На малюнку 1, а трикутник елементів утворюють споживачі r1, r2, r3. На малюнку 1, б цей трикутник замінений еквівалентними елементами ra, rb, rc, з'єднаними зіркою. Щоб не відбувалося зміна потенціалів в точках a, b, з схеми, опору еквівалентних споживачів визначаються з виразів: Спрощення вихідної ланцюга можна також здійснити заміною елементів, з'єднаних зіркою, схемою, в якій споживачі. У схемі, зображеної на малюнку 2, а, можна виділити зірку, утворену споживачами r1, r3, r4. Ці елементи включені між точками c, b, d. На малюнку 2, б між цими точками знаходяться еквівалентні споживачі rbc, rcd, rbd, з'єднані трикутником. Опору еквівалентних споживачів визначаються з виразів: Малюнок 2. Перетворення елементів ланцюга: а - з'єднаних зіркою, б - в еквівалентний трикутник Подальше спрощення схем, наведених на малюнках 1, б і 2, б, можна здійснювати шляхом заміни ділянок з послідовним і паралельним з'єднанням елементів їх еквівалентними споживачами. При практичній реалізації методу розрахунку простий ланцюга за допомогою перетворень виявляються в ланцюзі ділянки з паралельним і послідовним з'єднанням споживачів, а потім розраховуються еквівалентні опори цих ділянок. Якщо у вихідній ланцюга в явному вигляді немає таких ділянок, то, застосовуючи описані раніше переходи від трикутника елементів до зірки або від зірки до трикутника, виявляють їх. Дані операції дозволяють спростити ланцюг. Застосувавши їх кілька разів, приходять до виду з одним джерелом і одним еквівалентним споживачем енергії. Далі, застосовуючи, розраховують струми і напруги на ділянках кола. Розрахунок складних ланцюгів постійного струму В ході розрахунку складного ланцюга необхідно визначити деякі електричні параметри (в першу чергу струми і напруги на елементах) на основі вихідних величин, заданих в умові завдання. На практиці використовуються кілька методів розрахунку таких ланцюгів. Для визначення струмів гілок можна використовувати: метод, який базується на підставі безпосереднього застосування, метод вузлових напруг. Для перевірки правильності обчислення струмів необхідно скласти. Із треба, що алгебраїчна сума потужностей всіх джерел живлення ланцюга дорівнює арифметичній сумі потужностей всіх споживачів. Потужність джерела живлення дорівнює добутку його ЕРС на величину струму, що протікає через дане джерело. Якщо напрямок ЕРС і струму в джерелі збігаються, то потужність виходить позитивною. В іншому випадку вона негативна. Потужність споживача завжди позитивна і дорівнює добутку квадрата струму в споживачі на величину його опору. Математично баланс потужностей можна записати в наступному вигляді:
де n - кількість джерел живлення в ланцюзі; m - кількість споживачів. Якщо баланс потужностей дотримується, то розрахунок струмів виконано правильно. У процесі складання балансу потужностей можна з'ясувати, в якому режимі працює джерело живлення. Якщо його потужність позитивна, то він віддає енергію в зовнішній ланцюг (наприклад, як акумулятор в режимі розряду). При від'ємному значенні потужності джерела останній споживає енергію з ланцюга (акумулятор в режимі заряду). 05.12.2014
Урок 25 (9класс) Тема. Розрахунок простих електричних ланцюгів Рішення будь-якої задачі з розрахунку електричного кола слід починати з вибору методу, яким будуть проведені обчислення. Як правило, одна і таж завдання може бути вирішена декількома методами. Результат в будь-якому випадку буде однаковим, а складність обчислень може істотно відрізнятися. Для коректного вибору методу розрахунку слід спочатку визначитися до якого класу належить дана електричний ланцюг: до простих електричних кіл або до складних. До простим відносять електричні ланцюги, які містять або одне джерело електричної енергії, або кілька знаходяться в одній гілці електричного кола. Нижче зображено дві схеми простих електричних ланцюгів. Перша схема містить одне джерело напруги, в такому випадку електричне коло однозначно відноситься до простих ланцюгів. Друга містить вже два джерела, але вони знаходяться в одній гілці, отже це також проста електричний ланцюг. Розрахунок простих електричних ланцюгів зазвичай роблять у такій послідовності: 1. Спочатку спрощують схему послідовно перетворивши все пасивні елементи схеми в один еквівалентний резистор. Для цього необхідно виділяти ділянки схеми, на яких резистори з'єднані послідовно або паралельно, і за відомими формулами замінювати їх еквівалентними резисторами (опорами). Ланцюг поступово спрощують і призводять до наявності в ланцюзі одного еквівалентного резистора. 2. Далі подібну процедуру проводять з активними елементами електричного кола (якщо їх кількість більше одного джерела). За аналогією з попереднім пунктом спрощуємо схему до тих пір, поки не отримаємо в схемі один еквівалентний джерело напруги. 3. В результаті ми наводимо будь-яку просту електричну схему до наступного вигляду: поєднується Домашнє завдання 1. Ф.Я.Божінова, Н.М.Кірюхін, Е.А.Кірюхіна. Фізика, 9 клас, «Ранок», Харків, 2009. § 13-14 (с.71-84) повторити. 2. Вправа 13 (задача 2, 5), вправа 14 (завдання 3, 5, 6) вирішити. 3. Переписати в робочий зошит завдання 1, 3, 4 (див. Наступні сторінки). ії з складанням балансу Пі постійного струму. Приклади розв'язаних задач Вступ Рішення задач - невід'ємна частина навчання фізики, оскільки в процесі вирішення завдань відбувається формування і збагачення фізичних понять, розвивається фізичне мислення учнів і вдосконалюється їх навички застосування знань на практиці. В ході вирішення завдань можуть бути поставлені і успішно реалізовані наступні дидактичні цілі: Поряд з цим при вирішенні завдань у школярів виховуються працьовитість, допитливість розуму, кмітливість, самостійність у судженнях, інтерес до навчання, воля і характер, наполегливість у досягненні поставленої мети. Для реалізації перерахованих цілей особливо зручно використовувати нетрадиційні завдання. Завдання з розрахунку електричних ланцюгів постійного струму За шкільною програмою на розгляд даної теми дуже мало приділяється часу, тому учні більш-менш успішно опановують методами вирішення завдань даного типу. Але часто такі типи завдань зустрічаються олімпіадних завданнях, але базуються вони на шкільному курсі. До таких, нестандартних завдань з розрахунку електричних ланцюгів постійного струму можна віднести завдання, схеми яких: 2) симетричні; 3) складаються з складних змішаних з'єднань елементів. У загальному випадку будь-яку ланцюг можна розрахувати, використовуючи закони Кірхгофа. Однак ці закони не входять до шкільної програми. До того ж, правильно вирішити систему з великого числа рівнянь з багатьма невідомими під силу не всім учням і цей шлях не є найкращим способом витрачати час. Тому потрібно вміти користуватися методами, що дозволяють швидко знайти опору і ємності контурів. Метод еквівалентних схем Метод еквівалентних схем полягає в тому, що вихідну схему треба представити у вигляді послідовних ділянок, на кожному з яких з'єднання елементів схеми або послідовно, або паралельно. Для такого уявлення схему необхідно спростити. Під спрощенням схеми будемо розуміти з'єднання або роз'єднання будь-яких вузлів схеми, видалення або додавання резисторів, конденсаторів, домагаючись того, щоб нова схема з послідовно і паралельно з'єднаних елементів була еквівалентна вихідної. Еквівалентна схема - це така схема, що при поданні однакових напружень на вихідну і перетворену схеми, струм в обох ланцюгах буде однаковий на відповідних ділянках. В цьому випадку всі розрахунки проводяться з перетвореної схемою. Щоб накреслити еквівалентну схему для ланцюга зі складним змішаним з'єднанням резисторів можна скористатися кількома прийомами. Ми обмежимося розглядом в подробицях лише одного з них - способу еквіпотенційних вузлів. Цей спосіб полягає в тому, що в симетричних схемах відшукуються точки з рівними потенціалами. Ці вузли з'єднуються між собою, причому, якщо між цими точками був включений якусь ділянку схеми, то його відкидають, так як через рівності потенціалів на кінцях ток по ньому не тече і цю ділянку ніяк не впливає на загальний опір схеми. Таким чином, заміна кількох вузлів рівних потенціалів призводить до більш простої еквівалентної схемою. Але іноді буває доцільніше зворотна заміна одного вузла декількома вузлами з рівними потенціалами, що чи не порушує електричних умов в решті частини. Розглянемо приклади розв'язання задач ці методом. З а д а ч а №1 Рішення: В силу симетричності гілок ланцюга точки С І Д є еквіпотенціальними. Тому резистор між ними ми можемо виключити. Еквіпотенціальні точки С і Д з'єднуємо в один вузол. Отримуємо дуже просту еквівалентну схему: Опір якої дорівнює: RАВ \u003d Rac + Rcd \u003d r * r / r * r + r * r / r + r \u003d r. З а д а ч а № 2 Рішення: У точках F і F` потенціали рівні, значить опір між ними можна відкинути. Еквівалентна схема виглядає так: Опоруділянок DNB; F`C`D`; D`, N`, B`; FCD рівні між собою і дорівнюють R1: 1 / R1 \u003d 1 / 2r + 1 / r \u003d 3 / 2r З огляду на це виходить нова еквівалентна схема: Її опір і опір вихідної ланцюга RАВ одно: 1 / RАВ \u003d 1 / r + R1 + R1 + 1 / r + R1 + R1 \u003d 6 / 7r З а д а ч а № 3. Рішення: Точки С і Д мають рівні потенціали. Винятком опір між ними. Отримуємо еквівалентну схему: Шуканий опір RАВ одно: 1 / RАВ \u003d 1 / 2r + 1 / 2r + 1 / r \u003d 2 / r З а д а ч а № 4. Рішення: Як видно зі схеми вузли 1,2,3 мають рівні потенціали. З'єднаємо їх у вузол 1. Вузли 4,5,6 мають теж рівні потенціали- з'єднаємо їх в вузол 2. Отримаємо таку еквівалентну схему: Опір на ділянці А-1, R 1-одно опору на ділянці 2-В, R3 і так само: Опір на ділянці 1-2 дорівнюватиме: R2 \u003d r / 6. Тепер виходить еквівалентна схема: Загальний опір RАВ одно: RАВ \u003d R1 + R2 + R3 \u003d (5/6) * r. З а д а ч а № 5. Рішення: Точки C і F-еквівалентні. З'єднаємо їх в один вузол. Тоді еквівалентна схема буде мати такий вигляд: Опір на ділянці АС: Опір на ділянці FN: Опір на ділянці DB: Виходить еквівалентна схема: Шукане загальне опір одно: завдання №6 Рішення: Замінимо загальний вузол Про трьома вузлами з рівними потенціалами О, О 1, О 2. Отримаємо еквівалентну систему: Опір на ділянці ABCD: Опір на ділянці A`B`C`D`: Опір на ділянці ACВ Отримуємо еквівалентну схему: Шукане загальний опір кола R AB одно: R AB \u003d (8/10) * r. Завдання №7. Рішення: "Розділимо" вузол О на два еквіпотенційних кута О 1 і О 2. Тепер схему можна уявити, як паралельні з'єднання двох однакових ланцюгів. Тому досить докладно розглянути одну з них: Опір цієї схеми R 1 дорівнює: Тоді опір всього ланцюга дорівнюватиме: З а д а ч а №8 Рішення: Вузли 1 і 2 - еквіпотенціальні, тому з'єднаємо їх в один вузол I. вузли 3 і 4 також еквіпотенціальні - поєднувані в інший вузол II. Еквівалентна схема має вигляд: Опір на ділянці A- I дорівнює опору на ділянці B- II і одно: Опір ділянки I-5-6 II одно: Опір ділянки I- II одно.
Рис. 2
Тепер є можливість застосувати закон Ома - співвідношення (1.22) і фактично визначити значення струму що протікає через джерело електричної енергії.
