Понастоящем са известни следните методи за организиране на радиоканали (радиотехнологии): FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Възможни техните комбинации (например, FDMA / TDMA). Сроковете срока за използването на тези технологии до голяма степен съвпадат с етапите на разработване на мобилни системи. В оборудването на мобилния радиотелефонно свързване на първото поколение бяха използвани многократни канали с честотно разделяне на каналите (FDMA). Досега радиотехнологията на FDMA е използвала успешно в съвременното оборудване на първото поколение клетъчна комуникация, както и в по-прости системи за комуникация на мобилни радиотелефон с неклетъчна структура. Що се отнася до мобилните комуникационни стандарти на първия етап, за първите радиални системи, концепцията за стандарти не се използва и оборудването се различава от имената на системите (Altai, Volvetot, Actionet и др.). Системите за клетъчни комуникации започнаха да се различават в съответствие със стандартите. На FDMA технологията, като тези стандарти на първото поколение клетъчни системи се основават, като NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS. Във второ поколение клетъчни комуникационни системи се извършва преход към цифрова обработка на предавани гласови съобщения, за които започна да се използва радиотехнологията на множествен достъп до времето, разделянето на каналите (TDMA). В резултат на прехода към TDMA: Увеличаването на шума на радио болката се увеличава, по-добре е да бъде по-добре защитено от слушане и т.н. TDMA се прилага в системи като стандарти като Gsm, d-amps (Последният в американската версия често се нарича TDMA). Радиотехнологията на множествен достъп с кодовото разделение на CDMA канали, или в английската версия на CDMA, активно се вгражда в обществените радио телефонни мрежи само през последните пет години. Тази радио технология има своите предимства, защото В CDMA оборудването: - ефективността на използване на радиочестотния спектър 20 пъти по-висок от радиооборудването на стандартния AMPS (FDMA технология) и 3 пъти - с GSM (TDMA технология); - значително по-добро, отколкото в други 2-ра производствени системи TDMA, качество, надеждност и поверителност на комуникацията; - е възможно да се използват малки терминали с нисък мощност с дълъг период на работа; - със същото разстояние от базовата станция, радиационната мощност на CDMA абонатните терминала е по-ниска от 5 пъти по отношение на същия индикатор в мрежите на стандартите, базирани на други радиотехнологии; - Възможно е да се оптимизира топологията на мрежите при изчисляване на областите на покритие. CDMA технологията за първи път е реализирана в клетъчното клетъчно оборудване на IS-95. Според възможностите си за обслужване съществуващите CDMA системи се отнасят до клетъчни системи от второ поколение. Според статистическите данни на Националния телекомуникационен институт (ETRI), броят на абонатите на Мрежата на CDMA се увеличава за 2000 души. По отношение на темповете на растеж на броя на абонатите, тези мрежи са по-добри от мрежи от други съществуващи клетъчни стандарти, преди развитието на клетъчни мрежи дори на такъв популярен стандарт като GSM. В момента, CDMA мрежите имат най-малко 30 милиона абонати. Световната телекомуникационна общност е склонна към факта, че в бъдещата система на безжичен достъп на абонатни линии (лични комуникационни системи от трето поколение) CDMA ще заема водеща позиция. Подобно заключение се дължи на факта, че технологията на CDMA е в състояние най-вече да гарантира изпълнението на изискванията за оборудването на третото поколение IMT-2000, по-специално, за да се гарантира обмен на информация с високи скорости на предаване. Въпреки това, в бъдещите системи за безжична достъп, планира се да се използват така наречените CDMA широколентови системи, където честотната лента на канала ще бъде най-малко 5 MHz (в съвременни CDMA системи от второто поколение, каналната лента е 1.23 MHz ). През последните няколко години започнаха да се появяват безжични комуникационни средства, които се основават на модерната честотна спектрална технология с честотни скокове (FH-CDMA). Тази технология съчетава спецификата на TDMA, където има разделение на всяка честота на няколко интервали от време и CDMA, където всеки предавател използва определена последователност от шумоподобни сигнали. Тази технология е намерила прилагането му в системи, предназначени за организиране на фиксирани комуникации.

Къде да потърсите техните характеристики, пишка го познава

44. Представяне на периодични сигнали под формата на поредица от Фурие

http://scask.ru/book_brts.php?id\u003d8.

Периодични сигнали и редове на Фурие

Математическият модел на процеса, повтарящ се във времето, е периодичният сигнал със следния имот:

Тук t е период на сигнала.

Задачата е да се намери спектралното разлагане на такъв сигнал.

Фурие.

Нека зададем времето, обсъдено в Ch. I ORTINORMATED база, образувана от хармонични функции с множество честоти;

Всяка функция от тази основа отговаря на състоянието на честотата (2.1). Следователно, - чрез извършване на ортогонално разлагане на сигнала на тази основа, т.е. изчислителни коефициенти

получаваме спектрално разлагане

панаир на всяка безкрайност на оста време.

Серия от видове (2.4) се наричат \u200b\u200bблизо до Фурие от Данго сигнал. Въвеждаме основната честота на последователността, образуваща периодичен сигнал. Изчисляване на коефициентите на разлагане (2.3), напишете поредица от Фурие за периодичен сигнал

с коефициенти

(2.6)

Така че, в общия случай, периодичният сигнал съдържа постоянния постоянен компонент и безкраен набор от хармонични колебания, така наречените хармонични с честоти към множество основна честота на последователността.

Всяка хармоника може да бъде описана чрез нейната амплитуда и началната фаза за това, коефициентите на серията Fourier трябва да бъдат написани като

Тези изрази в (2.5), ние получаваме друга, - еквивалентната форма на серията Фурие:

което понякога е по-удобно.

Спектрална диаграма на периодичен сигнал.

Така че е обичайно да се обадите на графичен образ на коефициенти на серия Фурие за определен сигнал. Диаграмите на амплитудата и фазите разграничават (фиг. 2.1).

Тук по протежение на хоризонталната ос честотите на хармониците се отлагат в някакъв мащаб и техните амплитуди и начални фази са представени по вертикалната ос.

Фиг. 2.1. Спектрални диаграми на някакъв периодичен сигнал: A - амплитуда; Б - Фаза

Особено се интересуват от амплитудна диаграма, която ви позволява да прецените процентното съдържание на определени хармоници в спектъра на периодичния сигнал.

Изучаваме няколко конкретни примера.

Пример 2.1. Ред Фурие Периодична последователност на правоъгълни видео импулси с известни параметри дори по отношение на точката t \u003d 0.

В радио инженерството съотношението се нарича уелнес на последователността. Според формулите (2.6) откриваме

Последната формула на серията Фурие е удобно написана във формата

На фиг. 2.2 Представени са амплитудни графики на последователността в два екстремни случая.

Важно е да се отбележи, че последователността на късите импулси, рядко, има богат спектрален състав.

Фиг. 2.2. Амплитудният спектър на периодичната последователност на рефроаргично видео импулси: а - с високо мито; Б - с нисък режим

Пример 2.2. Серия от периодична последователност на импулси от импулси, образувана от хармоничен сигнал на вида, ограничен на ниво (предполага се, че).

Въвеждаме специален параметър - ъгълът на прекъсване, определен от съотношението от където

В кореспонденцията с това стойността е равна на продължителността на един импулс, изразен в ъглова мярка:

Аналитичният запис на импулс, генериращ разглежданата последователност, има формата

Постоянният компонент на последователността

Коефициентът на амплитудата на първата хармоника

По същия начин се изчисляват амплитудите - хармонични компоненти, когато

Резултатите обикновено се записват, както следва:

където така наречените функции на Berg:

Графиките на някои функции на Berg са показани на фиг. 2.3.

Фиг. 2.3. Графики на няколко първи функции на Берг

Спектрална плътност на сигналите. Директно и обратното преобразуване на Фурие.

Сигналът се нарича периодичниАко формата му се повтаря циклично с течение на времето. Периодичният сигнал като цяло е написан, както следва: \\ t

Тук е периодът на сигнала. Периодичните сигнали могат да бъдат и прости и сложни.

За математическото представяне на периодичните сигнали с период често се използва от този следващ, в който хармонични (синусоидални и косинусни и косинусни) трептения са избрани като основни функции:

където. - основната ъглова честота на функцията на функциите. С хармонични основни функции серия от Фурие получава от тази серия, която в най-простия случай може да бъде написана в следната форма:

където са коефициентите

От редица четиририе, може да се види, че в общия случай периодичният сигнал съдържа постоянен компонент и набор от хармонични колебания на основната честота и нейните хармоници с честоти. Всяко хармонично трептене на серията Фурие се характеризира с амплитуда и начална фаза.

Спектрална диаграма и спектър на периодичен сигнал.

Ако някой сигнал е представен под формата на сумата на хармоничните колебания с различни честоти, това означава, че е извършено спектрално разлагане Сигнал.

Спектрална диаграма Сигналът се нарича графичен образ на коефициентите на серията Fourier на този сигнал. Има амплитудни и фазови диаграми. За да се изградят тези диаграми, в някакъв мащаб по хоризонталната ос, стойностите на честотата на хармоните са положени и техните амплитуди и фази се добавят по вертикалната ос. Освен това амплитудите на хармониците могат да приемат само положителни стойности, фази - както положителни, така и отрицателни стойности в интервала.

Спектрални периодични графики:

а) - амплитуда; б) - фаза.

Signal Spectrum. - Това е комбинация от хармонични компоненти със специфични честотни стойности, амплитуди и начални фази, образуващи сигнал в количеството. На практика спектралните диаграми се наричат \u200b\u200bпо-накратко - спектър на амплитуда, фаза спектър. Най-големият интерес се показва на амплитудата спектрална диаграма. Тя може да бъде оценена с процента на хармониците в спектъра.

Спектралните характеристики в телекомуникационните техники играят голяма роля. Знанието на спектъра на сигнала може да бъде правилно изчислен и инсталирате честотната лента, филтри, кабели и други комуникационни канални възли. Знанията на Signal Spectra са необходими за изграждане на многоканални системи с честотно разделяне на каналите. Без познанията на спектъра на смущенията е трудно да се предприемат мерки за потискане.

От това можем да заключим, че спектърът трябва да се знае, че извършва непрекъснато предаване на сигнала през комуникационния канал, за да се гарантира разделянето на сигналите и отслабването на смущенията.

За да наблюдавате спектрите на сигналите, се наричат \u200b\u200bустройства анализатори на спектъра. Те ви позволяват да наблюдавате и измервате параметрите на отделните компоненти на периодичния сигнал спектър, както и измерване на спектралната плътност на непрекъснатия сигнал.

Често математическото описание, дори неусложнено от структурата и формата на детерминистични сигнали, е трудна задача. Следователно се използва оригинално приемане, в което се заменят реалните сложни сигнали (представени с приблизително) с набор (претеглено количество, т.е. наблизо) математически модели, описани от елементарни функции. Това дава важен инструмент за анализ на преминаването на електрически сигнали чрез електронни схеми. В допълнение, представянето на сигнала може да се използва и като първоначално, когато описа и анализира. В същото време е възможно значително да се опрости обратната задача - синтез сложни сигнали от множеството елементарни функции.

Спектрално представяне на периодични сигнали се нарежда на Фурие

Генерална поредица от Фурие.

Основната идея за спектралното представяне на сигналите (функции) се повишава преди повече от 200 години и принадлежи на физиката и математиката J. B. Fourier.

Помислете за системата от елементарни ортогонални функции, всяка от които се получава от един източник - прототипната функция. Този прототип на функцията действа като "строителен блок", а желаното приближение е подходящо за комбинацията от същите блокове. Фурие показа, че всяка сложна функция може да бъде представена (приблизителна) под формата на крайна или безкрайна сума на редица множество хармонични колебания с определени амплитуди, честоти и начални фази. Тази функция може да бъде, по-специално ток или напрежение във веригата. Слънчевият лъч, разгънат от прикрит на цветен спектър, е физически аналог на Фурие математически трансформации (фиг. 2.7).

Светлината, излизаща от призма, е разделена на място на отделни чисти цветове или честоти. Спектърът има средна амплитуда на всяка честота. По този начин функцията на интензивност от време се трансформира в амплитудната функция в зависимост от честотата. Един прост пример за илюстрации на Фурие е показан на фиг. 2.8. Периодична, доста сложна извита крива (фиг. 2.8, \\ t но) - Това е сумата от две хармоници на различни, но многократни честоти: единични (фиг. 2.8, \\ t б) и се удвои (фиг. 2.8, в).

Фиг. 2.7.

Фиг. 2.8.

но - комплексно колебание; б, 1-ва и 2-ри сигнали

С помощта на спектралния анализ на Фурие, сложната функция изглежда е сума от хармоници, всяка от които има своята честота, амплитуда и фаза на стартиране. Фурие трансформацията определя функциите, представляващи амплитудата и фазата на хармонични компоненти, съответстващи на определена честота, а фазата е началната точка на синусоида.

Трансформацията може да бъде получена чрез два различни математически метода, единият от които се използва, когато първоначалната функция е непрекъсната, а другата - когато е определена от набора от отделни отделни стойности.

Ако функцията, която е проучена, е получена от стойности с определени дискретни интервали, тя може да бъде разделена на последователен ред синусоидални функции с отделни честоти - от най-ниската, основната или основната честота, а след това с честоти два пъти, се утрои и т.н. Над основния. Такава сума от компонентите и се нарича близо до Фурие.

Ортогонални сигнали. Удобен начин за спектрални описания на сигнала на Фурие е неговото аналитично представяне, използвайки системата на ортогонални елементарни функции. Нека има сигнал за сигнали за хилберт u 0 (t) y g /, (?), ..., u n (t) с ограничена енергия, определена на крайнен или безкраен интервал от време (T v 1 2). На този сегмент ние поставяме безкрайната система (подмножество) на взаимосвързани елементарни функции на времето и го наричаме основен. "

където r \u003d. 1, 2, 3,....

Функции u (t) и v (t) Ортогонални на интервала (?,? 2), ако техният скаларен продукт, при условие, че нито една от тези функции не е идентична с нула.

В математиката, така че дефинирайте в пространството на сигнала Hilbert ортогонална координатна основа.. Системата на ортогонални основни функции.

Имотът на ортогоналността на функциите (сигналите) е свързан с интервала на тяхното определение (фиг. 2.9). Например, два хармонични сигнала m, (?) \u003d \u003d Sin (2nr / 7 '0) и u., (t) \u003d Грях (4 nt / t q) (т.е. с честоти / 0 \u003d 1/7 '0 и 2/0, съответно) ортогонални във всеки интервал от време, чието продължителност е равно на цяло число на половин период T 0. (Фиг. 2.9, но). Следователно, в първия период, сигналите и ((1) и u 2 (t) Ортогонални на интервала (0, 7 "0/2); но на интервала (o, zg 0/4) те са неортогонални. PA Фиг. 2.9, б. Сигналите са ортогонални поради изобилието на външния им вид.

Фиг. 2.9.

но - на интервала; b - Поради времето на появата на представяне на сигнала u (t) Елементарните модели са значително опростени, ако е избрана системата от основни функции. vFF) притежаване на имот ортонормалност. От математика е известно дали дадено условие е удовлетворено за всяка двойка функции от ортогоналната система (2.7)

тази система от функции (2.7) ortonormated.

По математика такава система от основни функции на формуляра (2.7) се нарича или-тънко монтирана основа.

Позволявам за определения интервал от време | R, т2. | Има произволен сигнал u (t) И за представянето му използва ортонормална система от функции (2.7). Проектиране на произволен сигнал u (t) на оста на координатната основа се нарича разлагане в генерализирана серия Фурие. Това разлагане има изглед.

където c, - някои постоянни коефициенти.

За определяне на коефициентите с К. Изберете една от основните функции (2.7) v K (t) с произволен брой да се. Умножете двете части на разлагането (2.9) на тази функция и интегрирайте резултата във времето:

Благодарение на ортонормалността на базата на избраните функции в дясната страна на това равенство, всички членове на сумата, когато i. ^ да се Превърнете се в нула. Не само единственият член на номера с номера ще остане ненулева i. = да се, така

Производство на видове c K V K (t), включени в генерализираната серия Фурие (2.9), е спектрален компонент Сигнал u (t), И комбинацията от коефициенти (прогнози на сигналните вектори на оста на координатата) (от 0, s, ..., \\ t с k,..., c ") напълно определя анализирания сигнал iI (t) и го нарече спектър (от лат. спектър - изображение).

Същност спектрално представяне (анализ) Сигналът е да се определят коефициентите с I в съответствие с формула (2.19).

Изборът на рационалната ортогонална система на координатните база зависи от целта на изследването и се определя от желанието за максимално опростяване на математическия апарат за анализ, трансформации и обработка на данни. Като основни функции, Chebyshev, Hermita, Lagerre, Lejander и други в момента се използват. Най-голямото разпространение на сигнали в основата на хармоничните функции: комплекс eXP (J 2LFT) и реални тригонометрични функции на синус-косин, свързани с формула EULER e\u003e H. \u003d Cosx + y "sinx. Това се дължи на факта, че хармоничното трептене теоретично запазва формата си при преминаване през линейни вериги с постоянни параметри и само неговата амплитуда и началната фаза се променят. Символичният метод е добре развит в теорията на веригата също се използва широко. Работата на представителството на детерминистични сигнали под формата на набор от постоянен компонент ( постоянен компонент) и сумата от хармонични колебания с множество честоти се нарича наречена спектрално разлагане. Напълно общата употреба в теорията на сигналите на генерализирана поредица на Фурие също е свързана с нейното много важно свойство: с избраната ортонормална функционална система v K (t) и фиксирания номер на категориите от поредицата (2.9) осигурява най-доброто представяне на посочения сигнал u (t). Това свойство на серия Фурие е широко известно.

Когато спектралният изглед на сигналите, ортонормалните основи на тригонометрични функции бяха получени най-голямото приложение. Това се дължи на следното: най-просто генерирани хармонични колебания; Хармоничните сигнали са инвариантни по отношение на трансформациите, извършвани от стационарни линейни електрически вериги.

Ние оценяваме временното и спектралното представяне на аналоговия сигнал (фиг. 2.10). На фиг. 2.10, но Показана е временна диаграма на комплекс под формата на непрекъснат сигнал и на фиг. 2.10, b - Спектралното му разлагане.

Помислете за спектралното представяне на периодични сигнали под формата на сумата или хармоничните функции или сложни експоненциални характеристики с честоти, образуващи аритметична прогресия.

Периодични Обадете се на сигнала и "(?). Повтаряне на редовни интервали от време (фиг. 2.11):

където R - период на повторение или след импулси; n \u003d. 0,1, 2,....

Фиг. 2.11. Периодичен сигнал

Ако T. Това е период на сигнала u (t), Тогава периодите също ще бъдат няколко стойности: 2g, 3 T. и т.н. Периодична последователност на импулси (те се наричат видео импулси) Описано от изразяване

Фиг. 2.10.

но - временна диаграма; б. - амплитуден спектър

Тук u q (t) - единична импулсна форма, характеризираща се с амплитуда (височина) h \u003d e, Продължителност T ", период на следване T \u003d. 1 / F (F - честота), позицията на импулсите във времето спрямо часовника, например t \u003d. 0.

Когато се анализират периодични сигнали, ортогоналната система (2.7) е удобна като хармонични функции с множество честоти:

къде CO, \u003d 2p / t- Честота на импулсите.

Изчисляване на интегралите, с формула (2.8) Лесно е да се гарантира ортогоналността на тези функции на интервала [-G / 2, g / 2 |. Всяка функция отговаря на условията за периодичност (2.11), тъй като техните честоти са многократни. Ако системата (2.12) пишете като

ще получим ортонормална основа на хармонични функции.

Представете си периодичен сигнал най-често срещан по теория на сигналите тригонометрични (синус-косинус) формуляр Серия Фурие:

От хода на математиката е известно, че съществува декомпозиция (2.11), т.е. Номер се сгъва, ако функцията (в този случай, сигнал) u (t) На интервала [-7/2, 7/2] удовлетворява условия на Дирихле (За разлика от теоремата на Дирихле, те често интерпретират опростени):

• Не трябва да има разбивки на втория вид (с оставяйки клонове в безкрайност);
• Функцията е ограничена и има ограничен брой пропуски на първия род (скокове);
• Функцията има ограничен брой крайности (т.е. maxima и minima).

Следните компоненти на анализирания сигнал са налични във формула (2.13):

Постоянен компонент

Амплитудите на косинус формални компоненти

Амплитудни синусоидални компоненти

Спектралният компонент със CO честотата в теорията на комуникацията се нарича първо (главен) хармоникаи компоненти с ISO честоти, (p\u003e 1) - по-високи хармонии Периодичен сигнал. Стъпка по честотата на ASO между две съседни синусоиди от разлагане на Фурие се нарича резолюция на честотата спектър.

Ако сигналът е равномерна функция u (t) \u003d u (-t), след това в тригонометричния запис на серията Фурие (2.13) няма синусоидални коефициенти Б. n, тъй като в съответствие с формула (2.16) те се обръщат към нула. За сигнал u (t), Описано чрез странна функция на времето, напротив, съгласно формула (2.15), нула е равна на кофинус коефициента p. (постоянен компонент 0. също липсва), а обхватът съдържа компоненти B n.

Границите на интеграцията (от -7/2 до 7/2) не трябва непременно да бъдат такива като във формули (2.14) - (2.16). Интеграцията може да се извърши по всяко време Width 7 - резултатът няма да се промени от това. Специфични граници се избират поради съображения за удобство на изчисленията; Например, може да е по-лесно да продължите да се интегрирате от около 7 или от -7 до 0 и т.н.

Математическа секция Задаване на съотношението между функцията за време u (t.) и спектрални коефициенти и p, b n, Повикване хармоничен анализ Благодарение на комуникационната функция u (t) Със синусоидални и косинедни членове на тази сума. Освен това спектралният анализ е ограничен главно от рамката на хармоничен анализ, който е изключително приложение.

Често използването на синус-косинната форма на серията Фурие не е напълно удобно, защото за всяка стойност на индекса на сумиране пс (т.е. за всеки хармоник с честотата на МП) във формула (2.13) са включени два термина - косинус и синус. От математическа гледна точка е по-удобно да се представи тази формула, еквивалентна на еквивалент на Фурие реална форма /.

където 0. = 0 /2; И n \u003d yja 2 n + B - амплитуда; P-Tharmonic сигнал. Понякога в съотношение (2.17) преди да се "плюс", след това началната фаза на хармонията се записва като CP и \u003d -ARCTG ( b n fa. н).

В теорията на сигналите сложната форма на серията Фурие се използва широко. Получава се от реалната форма на редица косинусно представяне под формата на полумразен експоненциален изложител от формулата на EULER:

Чрез прилагане на тази трансформация към реалната форма на серия Фурие (2.17), получаваме количеството на сложните експоненциални и отрицателни показатели:

И сега ще интерпретираме изложителите във формулата (2.19) на честотата на CO, с "минус" вписващия индикатор като членове на номер с отрицателни числа. Като част от същия подход, коефициентът 0. Тя ще стане член на номер с нулев номер. След неусложнени трансформации идват сложна форма. Ред Фурие

Цялостна амплитуда пс-D хармоници.

Стойности С P. върху положителни и отрицателни числа пс са сложни конюгат.

Имайте предвид, че серия Фурие (2.20) е ансамбъл на комплекс експоненциален exp (jn (o (t) С честоти, образуващи аритметична прогресия.

Определяме връзката между коефициентите на тригонометричните и сложни форми на серията Fourier. Очевидно е това

Можете също да покажете, че коефициентите p. \u003d 2c W Coscp "; b n \u003d. 2C / I SICCP, F.

Ако u (t) е дори функция, коефициентите на С, волята реален и ако u (t) - Функцията е странна, коефициентите на реда ще станат въображаем.

Спектралното представяне на периодичния сигнал със сложна форма на поредица от Фурие (2.20) съдържа както положителни, така и отрицателни честоти. Но негативните честоти в природата не съществуват, и това е математическа абстракция (физическото значение на отрицателната честота е въртенето в посоката, противоположна на тази, която се приема за положителна). Те се появяват в резултат на официалното представяне на хармонични колебания с всеобхватна форма. При преминаване от всеобхватна форма на запис (2.20) до реалност (2.17), отрицателната честота изчезва.

Визуално за спектъра на сигнала се преценява по графичното му изображение - спектралната диаграма (фиг. 2.12). Разграничавам амплитудна честотаи фазон-честотни спектри. Агрегирана амплитудна хармоника P. (Фиг. 2.12, но) Повикване спектър на амплитуда, техните фази (фиг. 2.12, б) CP I - фаза спектър. Обща сума С P. = |С P. е спектър на сложна амплитуда (Фиг. 2.12, в). На спектралните диаграми ос на абсциса намалява текущата честота и но ординитените оси са или реална или сложна амплитуда или фаза на съответните хармонични компоненти на анализирания сигнал.

Фиг. 2.12.

но - амплитуда; b - фаза; в - Развлекателна гама от комплекс Фурие

Спектърът на периодичния сигнал се нарича ред или отделенТъй като се състои от отделни линии с височина, равна на амплитуда P. Хармоничен. От всички видове спектри, най-информативната е амплитуда, тъй като ви позволява да оцените количественото съдържание на някои хармоници в честотния състав на сигнала. В теорията на сигналите се доказва, че амплитудният спектър е дори честота функцияи фаза - нечетно.

Забележка equidistance (Рафенд от произхода) на комплекса на периодични сигнали: симетрични (положителни и отрицателни) честоти, върху които се намират спектралните коефициенти на тригонометричната серия от Фурие, образуват еднаква последователност (... - V. ..., -2so p-ph 0, В. 2 O, ..., nCOV. ...) съдържащи честотата на CO \u003d 0 и с стъпка CO t \u003d 2L / 7 '. Коефициентите могат да приемат всякакви стойности.

Пример 2.1.

Изчислете амплитудата и фазите спектрите на периодична последователност от правоъгълни импулси с амплитуда?, Продължителност т и и период на повторение T. Сигналът е дори функция (фиг. 2.13).

Фиг. 2.13.

Решение

Известно е, че перфектният правоъгълен вида импулс е описан от следното уравнение:

тези. Той се формира като разлика между две единични функции a (?) (Включване функции), изместени във времето на t n.

Последователността на правоъгълните импулси е определено количество единични импулси:

Тъй като посоченият сигнал е равномерна функция и за един период действа само на интервала [t и / 2, t и / 2], съгласно формула (2.14)

където q. = T / T "

Анализ на получената формула, може да се отбележи, че срокът на следното и продължителността на импулсите са включени в него под формата на връзка. Този параметър q - Съотношението на периода до продължителността на импулсите се нарича издръжливост Периодичната последователност на импулси (в чуждестранна литература, вместо на служба, използвайте обратната стойност - коефициент на пълнене, от английски, дежурен цикълравен на t и / 7); за q \u003d. 2 последователността на правоъгълните импулси, когато продължителността на импулсите и пропуските между тях стават равни, наречени меандър (от гръцки. PAIAV5POQ е модел, геометричен орнамент).

Благодарение на паритет на функцията, описваща анализирания сигнал, в редица Фурие, заедно с постоянния компонент, ще присъстват само козене компоненти (2.15):

В дясната страна на формула (2.22), вторият фактор има формата на елементарна функция (sinx) / х. В математиката тази функция е показана като sinc (x) и само когато х. \u003d 0 е равно на един (lim (sinx / x) \u003d 1) преминава

чрез нула в точки X \u003d ± L, ± 2L, ... и избледнява с растежа на аргумента X (фиг. 2.14). Накрая тригонометрична серия Фурие (2.13), която приближава посочения сигнал, записан във формата

Фиг. 2.14. Функция за график sinx / x.

Синусната функция има венчелистче. Говорейки за ширината на венчелистчетата, трябва да се подчертае, че за графики на дискретни спектри на периодични сигнали има две възможности за класифициране на хоризонталната ос - в стаите на хармонични и честоти. Например, на фиг. 2.14 Завършването на оста на ординатата съответства на честотите. Ширината на венчелистчетата, измерена сред хармонията, е равна на уелнес на последователността. Оттук следва важното свойство на спектъра на последователността на правоъгълните импулси - няма (имат нулеви амплитуди) на хармоници с числа, множество дежурни заболявания). Когато импулсите на импулсите, равни на три, изчезват всяка трета хармоника. Ако диетата ще бъде равна на две, тогава в спектъра ще остане само странни хармоници на основната честота.

От формула (2.22) и фиг. 2.14 От това следва, че коефициентите на редица по-висши хармоници имат отрицателен знак. Това се дължи на факта, че първоначалната фаза на тези хармоници е равна пс. Следователно формулата (2.22) се взема за подаване в модифицирана форма: \\ t

С такъв запис на серията Фурие, амплитудите на всички по-високи хармонични компоненти на графиката на спектралната диаграма са положителни (фиг. 2.15, но).

Амплитудният спектър на сигнала до голяма степен зависи от връзката на периода на повторение T. и продължителност на импулса Т и, т.е. от дежурство q.Разстоянието в честотата между съседните хармоници е равно на честотата на импулсите от 1 \u003d 2L / t. Ширината на пенлите на спектъра, измерена в честотните единици, е равна на 2-ри / т N, т.е. Обратно пропорционална на продължителността на импулса. Обърнете внимание, че със същата продължителност на импулса t и с увеличаване

Фиг. 2.15.

но - амплитуда;б. - Фаза

рода на повторението им T. Основната честота на CO, намалява и спектърът става по-плътна.

Същата картина се наблюдава, ако продължителността на импулса е съкратена и с постоянен период. T. Амплитудите на всички хармоници са намалени. Това е проява на общ закон (принципът на несигурността V. Heisenberg - Принцип на несигурност) ", Колкото по-кратък е с продължителността на сигнала, толкова по-широк неговия спектър.

Фазите на компонентите определят от формулата CP P \u003d ARCTG (b n / a n). Както тук коефициентите Б " \u003d 0, тогава

където m \u003d. 0, 1, 2,....

Съотношението (2.24) показва, че при изчисляването на фазите на спектралните компоненти се занимават с математическа несигурност. За своите оповестявания се обръщаме към формула (2.22), според която хармоничните амплитуди периодично променят знака в съответствие с промяната на знака на функцията на греха (NCO 1 x 1i / 2). Промяната на знака във формулата (2.22) е еквивалентна на фазовото смяна на тази функция пс.Следователно, когато тази функция е положителна, хармоничната фаза (P и \u003d 2 tP.и когато отрицателен - \u003d (2t. + 1 )да се (Фиг. 2.15, б). Имайте предвид, че въпреки амплитудите на компонентите в спектъра на правоъгълни импулси и намаляват с нарастваща честота (виж фиг. 2.15, \\ t но), Този спад е доста бавен (амплитудите намаляват вътрешно пропорционално честотата). За прехвърляне на такива импулси без изкривяване, е необходима безкрайна лента на комуникационния канал. За относително ниски изкривявания, граничната стойност на честотната лента трябва да бъде многократно по-голяма от стойността, обратната продължителност на импулса. Въпреки това, всички реални канали имат крайна честотна лента, което води до изкривяване на формата на предаваните импулси.

Серия Фурие от произволни периодични сигнали могат да съдържат безкрайно голям брой членове. При изчисляване на спектрите на такива сигнали изчисляването на безкрайната сума на серията Fourier води до определени трудности и не винаги се изисква, следователно ограничено от сумирането на крайния брой на термините (серията "ствола").

Точността на сближаването на сигнала зависи от броя на призовите компоненти. Помислете за това при примера на сближаване чрез сумата на осемте първите хармоници на последователността на правоъгълните импулси (фиг. 2.16). Сигналът има изглед на еднополюсен меандър с период на повторение. T u. амплитуда Д. \u003d 1 и продължителност на импулса t и \u003d T./ 2 (посоченият сигнал е равномерно - Фиг. 2.16, ноШпакловка Кедрит q. \u003d 2). Сближаването е показано на фиг. 2.16, b, и броят на обменяемите хармоници е показан на графиките. При сближаване на даден периодичен сигнал при сближаването (виж фиг. 2.13) тригонометрично край (2.13), сумирането на първите и по-висшите хармоници ще се извършва само от недвижими коефициенти PU. Тъй като с дори техните стойности и продължителност на импулса t и \u003d T./ 2 \u003d \u003d tt / co, стойността на греха (mo, t h / 2) \u003d грех (wt / 2) е изчезнала.

Тригонометричната форма на серията Фурие (2.23) за даден сигнал има формата

Фиг. 2.16.

но - определен сигнал; 6 - Междинни етапи на сумиране

За удобство, серията Фурие (2.25) може да бъде написана опростена:

От формула (2.26) е очевидно, че хармониците, приблизително меандър, са странни, имат променливи знаци и техните амплитуди са обратно пропорционални на числата. Трябва да се отбележи, че последователността на правоъгълните импулси е слабо подходяща за презентацията близо до Фурие - сближаването съдържа вълни и скокове, а сумата от произволен брой хармонични компоненти с всички амплитуди винаги ще бъде непрекъсната функция. Следователно поведението на серия Фурие в близост до пропуските е от особен интерес. От графики. 2.16, не е трудно да се забелязва, както с увеличаване на броя на прилежимите хармоници, получената функция все повече се приближава към формата на източника u (t) Навсякъде, с изключение на неговите пропуски. В околностите на точките на разкъсване, сумирането на поредицата от Фурие дава наклонена секция, а наклонът на получената функция се увеличава с увеличаване на броя на прилежимите хармоници. В самото начало на разкъсването (ние го обозначаваме като t. = t 0) Фуриед u (t 0) Той се сближава до половината от дясната и лявата граница:

На съседните зони на приблизителната крива сумата на реда дава забележими вълни и на фиг. 2.16 Може да се види, че амплитудата на основната емисия на тези вълни не намалява с нарастващия брой прилежими хармоници - тя се компресира само хоризонтално, приближаваща се точката на прекъсване.

За пс -? В точките на прекъсване, амплитудата на емисиите остава постоянна,

и нейната ширина ще бъде безкрайно тясна. Относителната амплитуда на вълни (по отношение на амплитудата на скока) и относителното затихване не се променят; Само честотата на пулсациите се променя, което се определя от честотата на най-новите призови хармоници. Това се дължи на сближаването на серията Фурие. Нека се обърнем към класическия пример: Ще постигнете ли стените, ако вземете половината от останалото разстояние с всяка стъпка? Първата стъпка ще доведе до половината от пътя, вторият - към марката на три от нейните помещения, а след петата стъпка почти 97% от пътя ще преминат. Почти стигнахте до целта, но без значение колко стъпки напред, никога не го достигат в строг математически смисъл. Възможно е само да се докаже математически, че в крайна сметка можете да се доближите до всяко произволно разстояние. Това доказателство ще бъде еквивалентно на демонстрацията на количеството на числа 1/2, 1,1 / 8.1 / 16 и др. Тя се стреми към един. Това явление присъщо във всички редове на Фурие за сигнали с разкъсвания на първия род (например скокове, както на фронтовете на правоъгълни импулси), се наричат ефекта на Гибс* В този случай стойността на първата (най-голямата) емисия на амплитуда в приблизителната крива е около 9% от нивото на скока (виж фиг. 2.16, \\ t пс = 4).

Gibbs ефект води до фатална грешка при сближаване на периодични импулсни сигнали с разкъсвания на първия род. Ефектът се извършва с остра нарушена монотонна монотонност на функциите. При скокове ефектът от максимума, във всички останали случаи, амплитудата на пулсациите зависи от естеството на нарушението на монотонността. За редица практически приложения, ефектът на Gibbs причинява определени проблеми. Например, в системите за възпроизвеждане, това явление се нарича "звънене" или "плъх". В този случай, всеки остър съгласен или друг внезапен звук може да бъде придружен от кратък звук неприятно за изслушване.

Фурие може да се прилага не само за периодични сигнали, но и за сигналите за крайна продължителност. Въпреки това, тя е предвидена в срок

интервал на шума, за който се изгражда поредица от Фурие, и по време на оставащите моменти на времето сигналът се счита за нула. За да се изчислят коефициентите на даден номер, този подход означава периодично продължение Сигнал извън интервала.

Имайте предвид, че природата (например човешкото изслушване) използва принципа на хармоничен анализ на сигналите. Виртуална трансформация на Фурие Човекът дава възможност да се чуе звука: ухото автоматично го изпълнява, което представлява звука под формата на спектър от последователни обемни стойности за тонове на различни височини. Човешкият мозък превръща тази информация в възприеман звук.

Хармоничен синтез. В теорията на сигналите, заедно с хармоничен анализ, сигналите са широко използвани хармоничен синтез - Получаване на специалности на сложна форма чрез обобщаване на редица хармонични компоненти на техния спектър. По същество над синтеза на периодична последователност на правоъгълни импулси се извършва количество от редица хармоници. На практика тези операции се извършват на компютър, както е показано на фиг. 2.16, б.

• Жан Батист Йосиф Фурие (J. V. J. Fourier; 1768-1830) - френски математик и физик.
• Josayia Gibbs (J. Gibbs, 1839-1903) е американски физик и математик, един от основателите на химическата термодинамика и статистическа физика.

Форми на запис на серия Фурие. Сигналът се нарича периодичниако формата му се повтаря циклично във времето периодичен сигнал u (t)като цяло, той е написан така:

u (t) \u003d u (t + mt), m \u003d 0, ± 1, ± 2, ... \\ t

Тук t-период на сигнала. Периодичните сигнали могат да бъдат и прости и сложни.

За математическо представяне на периодични сигнали с период T.често се използват близо (2.2), в които хармонични (синусоидални и косинусни) трептения са избрани като основни функции

y 0 (t) \u003d 1; Y 1 (t) \u003d sinw 1 t; Y 2 (t) \u003d cosw 1 t;

y 3 (t) \u003d sin2w 1 t; Y 4 (t) \u003d cos2w 1 t; ..., (2.3)

където w 1 \u003d 2p / t- основната ъглова честота на последователността

функции. С хармонични основни функции от номер (2.2) Получаваме редица Фурие (Жан Фурие - френски математик и физикът на XIX век).

Хармоничните функции на формуляра (2.3) в редица Фуйвър имат следните предимства: 1) просто математическо описание; 2) инвариантност към линейни трансформации, т.е., ако входът на линейната верига работи хармонично колебание, след това на изхода на него ще има и хармонично колебание, различаващо се от амплитудата на входа и началната фаза; 3) като сигнал, хармоничните функции са периодични и имат безкрайна продължителност; 4) Техниката за генериране на хармонични функции е доста проста.

От скоростта на математика е известно, че за да се разложи периодичният сигнал подред за хармонични функции (2.3), е необходимо да се извършат условията на Дирико. Но всички реални периодични сигнали са доволни от тези условия и могат да бъдат представени като серия Фурие, която може да бъде записана в една от следните форми:

u (t) \u003d a 0/2 + (a 'mn cosnw 1 t + a "mn nw 1 t), (2.4)

където са коефициентите

Mn "\u003d (2.5)

u (t) \u003d a 0/2 + (2.6)

Mn \u003d. (2.7)

или в сложна форма

u (t) \u003d (2.8)

C N \u003d. (2.9)

От (2.4) - (2.9) следва, че в общия случай периодичен сигнал U (t) съдържа постоянен компонент 0/2 и набор от хармонични колебания на основната честота W 1 \u003d 2PF 1 и неговата хармоника с честоти Wn \u003d nW 1, n \u003d 2, 3.4, ... всеки от хармонията

ос колебанията на серията Фурие се характеризират с амплитуда на началната фаза y n .nnn

Спектрална диаграма и спектър на периодичен сигнал. Ако някой сигнал е представен като сума от хармонични колебания с различни честоти, тогава те казват това спектрално разлаганесигнал.

Спектрална диаграмасигналът се нарича графично представяне на коефициентите на поредицата от Фурие от този сигнал. Има амплитудни и фазови диаграми. На фиг. 2.6 в даден мащаб, хоризонталната ос се отлагат стойностите на честотата на хармонията по протежение на гъбата ос - техните амплитуди mn и фаза y n. Освен това хармоничните амплитуди могат да приемат само положителни стойности, фази - както положителни, така и отрицателни стойности в интервала -p £ y n £ p

Signal Spectrum.- Това е комбинация от хармонични компоненти със специфични честотни стойности, амплитуди и начални фази, образуващи сигнал в количеството. В техническите приложения на практика спектралните диаграми се наричат \u200b\u200bпо-кратки - амплитуден спектър, фазов спектър.Най-често се интересуват от спектрална диаграма на амплитуда. Тя може да бъде оценена с процента на хармониците в спектъра.

Пример2.3. Изпращане на Фурие Периодична последователност на правоъгълни видео импулси визвестни параметри (U m, t, t z),дори "спрямо точка t \u003d 0, за да се изгради спектрална диаграма на амплитудите и фазите при u m \u003d 2b, t \u003d 20ms, s \u003d t / t и \u003d 2 и 8.

Посоченият периодичен сигнал на интервала от един период може да бъде написан като

Ние използваме, за да представляваме тази сигнална форма на запис на серията Фурие вформа (2.4). Тъй като сигналът е равномерно, тогава само козинските компоненти ще останат в разлагането.

Фиг. 2.6. Спектрални периодични графики:

а - амплитуда; б.- Фаза

Неразделна част от нечетната функция за периода на Ravey Zero. Според формулите (2.5) откриваме коефициентите

позволявайки да напишете поредица от Фурие:

За да изградите спектрални диаграми със специфични цифрови данни, мога да бъда зададен \u003d 0, 1, 2, 3, ... и изчислявам хармоничните коефициенти. Резултатите от изчисляването на първите осем компонента на спектъра са обобщени в таблица. 2.1. В номер (2.4) A "mn \u003d 0и според (2.7) mn \u003d | a "mn |, основната честота F 1 \u003d 1 / t \u003d 1 / 20-10 -3 \u003d 50 Hz, W 1 \u003d 2PF 1 \u003d 2P * 50 \u003d 314RAD / s. Амплитуден спектър на фиг.

2.7, изградени за такива н,за което И mn.повече от 5% от максималната стойност.

От горния пример 2.3 Следва, че с увеличаване на митото се увеличава броят на спектралните компоненти и техните амплитуди намаляват. Казва се, че такъв сигнал има богат спектър. Трябва да се отбележи, че за много практически използвани сигнали няма нужда да се изчисляват амплитудите и фазите на хармониците според формулите преди това.

Таблица 2.1. Амплитудни компоненти на серия от периодична последователност на Фурие от правоъгълни импулси

Фиг. 2.7. Спектрални диаграми на периодичната импулсна последователност: но- Силни страни на S-2; - B-на мито S \u003d 8

В математическите директории има декомпозиции на сигнали по ред на Фурие. Една от тези таблици е показана в приложението (таблица. § 2).

Често възниква въпросът: колко да приемате спектрални съвместни настройки (хармоници), за да представите истински сигнал до Фурие? В края на краищата, число, строго говорене, безкрайно. Тук не може да се даде недвусмислен отговор. Всичко зависи от сигналната форма и точността на представянето му близо до Фурие. По-гладка промяна на сигнала - хармоник е по-малко необходима. Ако сигналът има скокове (прекъсвания), тогава е необходимо да се обобщи по-голям брой хармоници, за да се постигне същата грешка. Въпреки това, в много случаи, например, в телеграф, те вярват, че за предаването на правоъгълни импулси със стръмни фронтове е достатъчно три хармоници.

През последния век Иван Бернули, Леонард Сулер, а след това Jean-Batist Fourier първо приложи представяне на периодични функции с тригонометрични редове. Тази презентация се изучава доста подробно в други курсове, така че ще напомним само на основните отношения и определения.

Както е отбелязано по-горе, цялата периодична функция u (t) за които се изпълнява равенство u (t) \u003d u (t + t) където T \u003d 1 / f \u003d 2p / w , Можете да си представите близо до Фурие:

Всяка категория от тази серия може да бъде разложена от косинусната формула за разликата в два ъгъла и да се представи под формата на два термина:

,

където: N \u003d c n cosφ n, b n \u003d c n sinφ n , така че , но

Фактори Н. и Кръчма. дефинирани съгласно формулите на Euler:

;
.

За n \u003d 0. :

но B 0 \u003d 0.

Фактори Н. и Кръчма. са средни стойности на работата на функцията u (t) и хармонично колебание с честота nW. на интервала на издръжливост T. . Вече знаем (раздел 2.5), че това са функциите на взаимна корелация, която определя мярката за тяхната връзка. Следователно коефициентите Н. и Б. Покажете ни "колко синусоиди или косинеони с честота nW. съдържащи се в тази функция u (t) разделени на ред Фурие.

По този начин можем да представим периодична функция u (t) под формата на сумата на хармоничните колебания, където числата C N. са амплитуди и цифри Φ N. - Фази. Обикновено в литературата наречен спектър от амплитуди и - Фаза на спектъра. Често се обмисля само спектърът на амплитудите, който е изобразен под формата на линии, разположени в точки. nW. на оста на честотите и с височина, съответстваща на броя C N. . Въпреки това трябва да се помни, че за да се получи недвусмислена кореспонденция между времето u (t) И неговият спектър трябва да използва спектъра на амплитудите и фазовия спектър. Това се вижда от такъв прост пример. Сигналите ще имат един и същ спектър от амплитуди, но напълно различни видове функции.

Дискретният спектър може да има не само периодична функция. Например, сигнал: не периодично, но има дискретен спектър, състоящ се от две спектрални линии. Също така ще има строго периодичен сигнал, състоящ се от последователност от радиопулси (импулси с високочестотен пълнеж), при който периодът на следване е постоянен, но началната фаза на високочестотни пълнежи промени от импулса до импулса съгласно към всеки закон. Такива сигнали се наричат \u200b\u200bпочти периодични. Както ще видим в бъдеще, те също имат дискретен спектър. Изследването на физическото естество на спектрите на такива сигнали ще изпълним по същия начин като периодични.